Ἰσορροπικῶν β΄

Παντὸς τμάματος περιεχομένου ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεος διαιρεῖ τὰν τοῦ τμάματος διάμετρον, ὥστε εἶμεν ἁμιόλιον τὸ μέρος αὐτᾶς τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ τμάματος τοῦ ποτὶ τᾷ βάσει. Ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα οἷον εἴρηται, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἁ Β△, κέντρον δὲ τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον. Δεικτέον ὅτι ἁμιολία ἐστὶν ἁ ΒΘ τᾶς Θ△. Ἐγγεγράφθω ἐς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα γνωρίμως τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ Ε, καὶ τετμάσθω δίχα ἑκατέρα τᾶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἄχθων αἱ ΚΖ, ΗΛ· διάμετροι ἄρα ἐντὶ τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμαμάτων. Ἔστω οὖν τοῦ μὲν ΑΚΒ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ, τοῦ δὲ ΒΛΓ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ, ΜΝ. ΚΛ· τοῦ ἄρα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Χ, Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἁ ΒΘ ποτὶ Θ△, οὕτως ἁ ΚΜ ποτὶ ΜΖ, καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἁ Β△ ποτὶ ΚΖ, οὕτως ἁ △Θ ποτὶ ΜΖ, τετραπλασία δὲ ἁ Β△ τᾶς ΚΖ τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει δείκνυται, οὗ σαμεῖον ??· τετραπλασίων ἄρα καὶ ἁ △Θ τᾶς ΜΖ ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ΒΘ λοιπᾶς τᾶς ΚΜ, τουτέστι τᾶς ΣΧ, τετραπλασίων. Καὶ λοιπὰ ἄρα συναμφοτέρα ἁ ΒΣ, ΧΘ τριπλασίων τᾶς ΣΧ. Ἔστω τριπλασία ἁ ΒΣ τᾶς ΣΞ· καὶ ἁ ΧΘ ἄρα τᾶς ΞΧ ἐστὶ τριπλασία. Καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἐστὶν ἁ Β△ τᾶς ΒΣ· καὶ γὰρ τοῦτο δείκνυται· ἁ δὲ ΒΣ τᾶς ΣΞ τριπλασίων, ἁ ΞΒ ἄρα τᾶς Β△ τρίτον μέρος ἐστίν, Ἔστιν δὲ καὶ ἁ Ε△ τᾶς △Β τρίτον μέρος, ἐπειδήπερ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶ τὸ Ε· καὶ λοιπὰ ἄρα ἁ ΞΕ τρίτον μέρος τᾶς Β△. Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον, τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Χ, τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Ε, ἐσσεῖται ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τμάματα, οὕτως ἁ ΧΘ ποτὶ ΘΕ. Τριπλάσιον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν τμαμάτων τριπλασία ἄρα καὶ ἁ ΧΘ τᾶς ΘΕ. Ἐδείχθη δὲ ἁ ΧΘ τριπλασία καὶ τᾶς ΧΞ· πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΞΕ τᾶς ΕΘ, τουτέστιν ἁ △Ε τᾶς ΕΘ· ἴσα γάρ ἐστιν αὐτᾷ ὥστε ἑξαπλασία ἐστὶν ἁ △Θ τᾶς ΘΕ. Καί ἐντι τᾶς △Ε τριπλασία ἁ Β△ ἁμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς Θ△ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.