α΄.

Δύο σφαίρας ἴσας μὲν ὁ αὐτὸς κύλινδρος περιλαμβάνει, ἀνίσους δὲ ὁ αὐτὸς κῶνος τὴν κορυφὴν ἔχων πρὸς τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ· καὶ ἡ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον τῶν κύκλων, καθ᾿ ὦν ἐφάπτεται ἡ τοῦ κυλίνδρου ἢ ἡ τοῦ κώνου ἑπιφάνεια τῶν σφαιρῶν. Ἔστωσαν ἴσαι σφαῖραι, ὦν κέντρα ἔστω τὰ Α, Β σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τοῦ ΑΒ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὰς ἐν ταῖς σφαίραις μεγίστους κύκλους. ποιείτω οὖν τοὺς Γ∠Ε, ΖΗΘ κύκλους, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΓΑΕ, ΖΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΓΑ, ΖΒ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΑΒ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΓΖΑΒ, καὶ αἱ πρὸς τοῖς Γ, Ζ γωνίαι ὀρθαὶ ἔσονται· ὥστε ἡ ΓΖ τῶν Γ∠Ε, ΖΗΘ κύκλων ἐφάπτεται. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον καὶ τὰ ΚΓ∠, ΗΖΛ ἡμικύκλια περιενεχθέντα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὰ μὲν ΚΓ∠, ΗΖΛ ἡμικύκλια ἐνεχθήσεται κατὰ τῶν σφαιρῶν, τὸ δὲ ΑΖ παραλληλόγραμμον γεννήσει κύλινδρον, οὗ βάσεις ἔσονται οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθοὶ ὄντες πρὸς τὴν ΑΒ, διὰ τὸ ἐν πάσῃ μετακινήσει διαμένειν τὰς ΓΕ, ΘΖ ὀρθὰς τῇ ΑΒ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐφάπτεται τῶν σφαιρῶν, ἐπειδὴ ἡ ΓΖ κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν ἐφάπτεται τῶν ΚΓ∠ ΗΖΛ ἡμικυκλίων. Ἔστωσαν δὴ αἱ σφαῖραι πάλιν, ὦν κέντρα ἔστω τὰ Α, Β, ἄνισοι, καὶ μείζων ἧς κέντρον τὸ Α λέγω ὅτι τὰς σφαίρας ὁ αὐτὸς κῶνος περιλαμβάνει τὴν κορυφὴν ἔχων πρὸς τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον ποιήσει δὴ τομὰς ἐν ταῖς σφαίραις κύκλους. ποιείτω τοὺς Γ∠Ε, ΖΗΘ· μείζων ἄρα ὁ Γ∠. Ε κύκλος τοῦ ΗΖΘ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Γ∠Ε κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΖΗΘ κύκλου. δυνατὸν δή ἐστι λαβεῖν τι σημεῖον, ὡς τὸ Κ, ἵν᾿ ᾖ, ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Γ∠Ε κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΖΗΘ κύκλου, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΒ. ἔστω οὖν εἰλημμένον τὸ Κ σημεῖον, καὶ ἤχθω ἡ ΚΖ ἐφαπτομένη τοῦ ΖΗΘ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΚ. πρὸς τὴν ΚΒ, ἡ Α∠. πρὸς τὴν ΒΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν Α∠ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ΒΝ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚB, ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΖ. καὶ ἔστιν παράλληλος ἡ ΑΓ τῇ ΒΖ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖΚ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΖΒ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΑ. ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΚΓ τοῦ Γ∠Ε κύκλου. ἤχθωσαν δὴ αἱ ΓΛ, ΖΜ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοι. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΞ τά τε ΞΓ∠, ΗΖΝ ἡμικύκλια καὶ τὰ ΚΓΛ, ΚΖΜ. τρίγωνα περιενεχθέντα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὰ μὲν ΞΓ∠, ΗΖΝ ἡμικύκλια ἐνεχθήσεται κατὰ τῶν σφαιρῶν, τὸ δὲ ΞΓΛ. τρίγωνον καὶ τὸ ΚΖΜ. γεννήσει κώνους, ὦν βάσεις εἰσὶν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθοὶ ὄντες πρὸς τὸν ΚΛ. ἄξονα· κέντρα δὲ αὐτῶν τὰ Λ, Μ· καὶ ὁ κῶνος τῶν σφαιρῶν ἐφάψεται κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΚΖΓ. ἐφάπτεται τῶν ΞΓ∠, ΗΖΝ ἡμικυκλίων κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν.