Β΄.

Προκείσθω δὴ πάλιν τούτου δεδομένου καὶ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου λαβεῖν, τουτέστιν τὴν Β Ζ περιφέρειαν τοῦ μεσημβρινοῦ. γίνεται τοίνυν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ A λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α . ἀλλ᾿ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Θ μοιρ ἐστιν λζ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λη λδ κβ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Θ Α μοιρῶν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Η μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Η Β μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν λη λδ κβ πρὸς τὰ ριγ λζ νδ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος ὁ τῶν λγ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν πάλιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α περιφερείας τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Β Ζ τῶν αὐτῶν ἐστιν ο λγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Ζ περιφερείας ἔσται μοιρῶν οβ α, ἡ δὲ Β Ζ τῶν αὐτῶν λς ἔγγιστα. πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀνάπαλιν ἡ μὲν Β Ζ περιφέρεια τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δεδόσθω τετηρημένη μοιρῶν λς, προκείσθω δὲ εὑρεῖν τὸ διάφορον τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινήν, τουτέστιν τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ περιφερείας. γίνεται τοίνυν διὰ τὰ αὐτὰ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ. ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ο λβ γ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρη καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ??ζ δ νς, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΗ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ῑζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΗΘ μοιρῶν μζ μβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λᾱ νε· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ γ πρὸς ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λᾱ νε, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν λᾱ ῑᾱ κγ πρὸς τὰ ??ζ δ νς. καὶ ἐπειδὴ ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν ἔγγιστα καὶ τῶν λη λδ πρὸς τὰ ρκ, ἡ δὲ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α τμημάτων ἐστὶν ρκ, συνάγεται καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ τῶν αὐτῶν λη λδ ὥστε καὶ ἡ διπλῆ τῆς Ε Θ περιφερείας μοιρῶν μὲν ἔσται λζ λ ἔγγιστα, ὡρῶν δὲ ἰσημερινῶν βU+2220΄ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δοθήσεται καὶ ἡ Ε Η τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια διὰ τὸ καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β λόγον δεδομένον συνῆφθαι ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η δεδομένου καὶ αὐτοῦ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β, ὥστε καὶ τῆς Ε Β δεδομένης καταλείπεσθαι καὶ τὸ τῆς Ε Η μέγεθος. φανερὸν δʼ, ὅτι, κἂν μὴ τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ Η, τῶν ἄλλων δέ τι τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων, κατὰ τὰ αὐτὰ πάλιν ἑκατέρα τῶν Ε Θ καὶ Ε Η περιφερειῶν δοθήσεται προεκτιθεμένων τε ἡμῖν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερειῶν ὑφʼ ἑκάστου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τῶν ὁμοίων τῇ Η Θ περιφερείᾳ, καὶ παρακολουθοῦντος μὲν αὐτόθεν τοῦ τὰ ὑπὸ τῶν αὐτῶν παραλλήλων γινόμενα τμήματα τοῦ διὰ μέσων, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, τὰς αὐτὰς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν τὰς τοῦ ὁρίζοντος τομὰς καὶ τὰ τῶν νυχθημέρων μεγέθη ἴσα ἑκάτερα ἑκατέροις τῶν ὁμοίων, συναποδεικνυμένου δὲ τοῦ καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἴσων παραλλήλων γινόμενα, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου, τάς τε τοῦ ὁρίζοντος περιφερείας ἴσας ἑκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν καὶ τῶν νυχθημέρων ἐναλλὰξ ἴσα τὰ μεγέθη τῶν ἀνομοίων. ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης καταγραφῆς ὑποθώμεθα καὶ τὸ Κ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνει τὸ Β Ε Δ τοῦ ὁρίζοντος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος καὶ παράλληλος τῷ διὰ τοῦ Η γραφομένῳ, καὶ συναναπληρώσωμεν τὰ Η Δ καὶ Κ Μ τῶν παραλλήλων τμήματα ἐναλλὰξ καὶ ἴσα δηλονότι γινόμενα διά τε τοῦ Κ καὶ τοῦ βορείου πόλου τὸ Ν Κ Ξ γράψωμεν τεταρτημόριον, ἴσαι μὲν ἔσονται ἡ μὲν Θ Α περιφέρεια τῇ Ξ Γ διὰ τὸ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τῶν Λ Η καὶ Μ Κ ὁμοίαν εἶναι, καταλειφθήσεται δὲ καὶ λοιπὴ ἡ Ε Θ λοιπῇ τῇ Ε Ξ ἴση, γενήσονται δὲ καὶ δύο τριπλεύρων ὁμοίων τῶν ΕΗΘ καὶ ΕΚΞ αἱ δύο μὲν πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι, ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΕΞ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΚΞ, ὀρθὴ δὲ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Θ καὶ Ξ γωνιῶν, ὥστε καὶ βάσιν τὴν ΕΗ βάσει τῇ ΚΕ γίνεσθαι ἴσην.