Β΄.

Λοιποῦ δὲ ὄντος εἰς τὴν ὑποκειμένην θεωρίαν τοῦ τὸν περὶ τῶν γωνιῶν ποιήσασθαι λόγον, λέγω δὲ τῶν πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον γινομένων, προληπτέον, ὅτι ὀρθὴν γωνίαν ὑπὸ μεγίστων κύκλων λέγομεν περιέχεσθαι, ὅταν πόλῳ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων καὶ διαστήματι τυχόντι γραφέντος κύκλου ἡ ἀπολαμβανομένη αὐτοῦ περιφέρεια ὑπὸ τῶν τὴν γωνίαν περιεχόντων τμημάτων τεταρτημόριον τοῦ γραφέντος κύκλου ποιῇ, καθόλου τε, ὅτι, ὄν ἂν ἔχῃ λόγον ἡ ἀπολαμβανομένη περιφέρεια πρὸς τὸν γραφέντα κύκλον, καθʼ ὃν εἰρήκαμεν τρόπον, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς κλίσεως τῶν ἐπιπέδων πρὸς τὰς τέσσαρας ὀρθάς. ὥστε, ἐπειδὴ τὴν περίμετρον ὑποτιθέμεθα τμημάτων τξ, ὅσων ἂν εὑρίσκηται τμημάτων ἡ ἀπολαμβανομένη περιφέρεια, τοσούτων ἔσται καὶ ἡ ὑποτείνουσα αὐτὴν γωνία, οἵων ἡ μία ὀρθὴ ??. τῶν δὴ πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον γινομένων γωνιῶν αἰ μάλιστα χρήσιμοι πρὸς τὴν ὑποκειμένην θεωρίαν ἐκεῖναί εἰσιν αἵ τε ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ περιεχόμεναι καὶ αἱ ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ ὁρίζοντος καθʼ ἑκάστην θέσιν καὶ ὁμοίως αἱ ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου συναποδεικνυμένων ταῖς τοιαύταις γωνίαις καὶ τῶν ἀπολαμβανομένων τούτου τοῦ κύκλου περιφερειῶν ὑπό τε τῆς τομῆς καὶ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος, τουτέστιν τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου. ἕκαστα γὰρ τῶν ἐκκειμένων ἀποδειχθέντα πρός τε τὴν θεωρίαν αὐτὴν ἱκανωτάτην ἔχει χώραν καὶ πρὸς τὰ περὶ τὰς παραλλάξεις τῆς σελήνης ἐπιζητούμενα μάλιστα συμβάλλεται τὸ πλεῖστον μηδαμῶς τῆς τοιαύτης καταλήψεως προχωρεῖν δυναμένης ἄνευ τῆς ἐκείνων προδιαλήψεως. ἐπεὶ δὲ καὶ τεσσάρων οὐσῶν γωνιῶν τῶν περιἐχομένων ὑπὸ τῆς τῶν δύο κύκλων τομῆς, τουτέστιν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ ἑνὸς τῶν συμπλεκομένων αὐτῷ, περὶ μιᾶς τῆς κατὰ τὴν θέσιν ὁμοίας τὸν λόγον ποιεῖσθαι μέλλομεν, προδιοριστέον, ὅτι καθόλου τῶν δύο γωνιῶν τῶν περὶ τὴν ἑπομένην τῇ κοινῇ τομιῇ τῶν κύκλων περιφέρειαν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὴν ἀπʼ ἄρκτων ὑπακουστέον, ὥστε τὰ συμβαίνοντα καὶ τὰς πηλικότητας τὰς ἀποδειχθησομένας εἶναι τῶν οὕτως ἐχουσῶν γωνιῶν. ἁπλουστέρας δὲ τῆς δείξεως οὔσης τῶν πρὸς τὸν μεσημβρινὸν κύκλον θεωρουμένων τοῦ λοξοῦ γωνιῶν ἀπὸ τούτων ἀρξόμεθα καὶ δείξομεν πρῶτον, ὅτι τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου σημεῖα τὰς ἐκκειμένας γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ. ἔστω γὰρ ἰσημερινοῦ μὲν περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡ ΔΒΕ, πόλος δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ τὸ σημεῖον, καὶ ἀποληφθεισῶν ἴσων περιφερειῶν τῆς τε ΒΗ καὶ ΒΘ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Β ἰσημερινοῦ σημείου γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Ζ πόλου καὶ τῶν Η, Θ σημείων μεσημβρινῶν κύκλων περιφέρειαι ἥ τε ΖΚΗ καὶ ἡ ΖΘΛ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΗΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΘΕ. καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν· ἰσογώνιον γὰρ γίνεται τὸ ΒΗΚ τρίπλευρον τῷ ΒΘΛ, ἐπειδήπερ καὶ τὰς τρεῖς πλευρὰς ταῖς τρισὶν πλευραῖς ἴσας ἔχει ἑκάστην ἑκάστῃ, τὴν μὲν ΗΒ τῇ ΒΘ, τήν δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ ,τὴν δὲ ΒΚ τῇ ΒΛ · δέδεικται γὰρ πάντα ταῦτα ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΗΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΘΛ, τουτἐστιν τῇ ὑπὸ ΖΘΕ, ἐστιν ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν δεικτέον, ὅτι τῶν τὸ ἴσον ἀπεχόντων σημείων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου αἱ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν γινόμεναι γωνίαι συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστω γὰρ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ τοῦ Β ὑποκειμένου τροπικοῦ σημείου, καὶ ἀποληφθεισῶν ἐφʼ ἑκάτερα αὐτοῦ περιφερειῶν ἴσων τῆς τε ΒΔ καὶ τῆς ΒΕ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Δ καὶ Ε σημείων καὶ τοῦ Ζ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ μεσημβρινῶν κύκλων περιφέρειαι ἥ τε ΖΔ καὶ ἡ ΖΕ. λέγω, ὅτι ἥ τε ὑπὸ ΖΔΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο δῆλον αὐτόθεν. ἐπεὶ γὰρ τὰ Δ καὶ Ε σημεῖα ἴσον ἀπέχει τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΕ· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΖΕΒ καὶ ΖΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ἄρα μετὰ τῆς ὑπὸ ΖΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. τούτων προτεθεωρημένων ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ τοῦ Α σημείου ὑποκειμένου τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ, καὶ πόλῳ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΒΕΔ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ τοίνυν ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινὸς διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ πόλων καὶ διὰ τῶν τοῦ ΒΚΔ γέγραπται, τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ ΕΔ περιφέρεια · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία. ὀρθὴ δὲ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ σημείου γινομένη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ἰσημερινοῦ δὲ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΑΖΓ ἡμικύκλιον οὕτως, ὥστε τὸ Α σημεῖον εἶναι τὸ μετοπωρινὸν ἰσημερινόν, πόλῳ τε τῷ Α καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΒΖΕΔ ἡμικύκλιον. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ καὶ διὰ,, τῶν τοῦ ΒΕΔ πόλων γέγραπται, τεταρτημορίου ἐστὶν ἤ τε ΑΖ καὶ ἡ ΕΔ ὥστε καὶ τὸ μὲν Ζ σημεῖον ἔσται τὸ χειμερινὸν τροπικόν, ἡ δὲ ΖΕ περιφέρεια τῶν ἀποδεδειγμένων μοιρῶν κγ ωα ἔγγιστα. καὶ ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΖΕΔ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ριγ να. ἡ δὲ ὑπὸ ΔΑΖ γωνία τοιούτων ριγ να. οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ??. διὰ δὲ τὰ προδεδειγμένα πάλιν καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ ἐαρινοῦ ἰσημερινοῦ σημείου γινομένη γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἔσται μοιρῶν ξς θ. πάλιν ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΖ Δ, ὥστε τὸ μὲν Ζ σημεῖον ὑποκεῖσθαι τὸ μετοπωρινόν, τὴν δὲ Β Ζ περιφέρειαν πρῶτον ἑνὸς δωδεκατημορίου τοῦ τῆς Παρθένου καὶ τὸ Β σημεῖον ἀρχὴν δηλονότι τῆς Παρθένου· πόλῳ δὲ πάλιν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΗΘΕΚ ἡμικύκλιον, καὶ προκείσθω τὴν ὑπὸ ΚΒΘ γωνίαν εὑρεῖν. ἐπεὶ τοίνυν ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινὸς διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΗΕΚ πόλων γέγραπται, τεταρτημορίου μὲν ἑκάστη γίνεται τῶν ΒΗ καὶ ΒΘ καὶ ΕΗ περιφερειῶν. διὰ δὲ τὴν καταγραφὴν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΗ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΖ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ . ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΒΑ διὰ τὰ προδεδειγμένα μοιρῶν ἐστιν κγ δ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ιϛ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Α μοιρῶν ρνς μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λα, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΖΘ μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν κδ ῑς πρὸς τὰ ρῑζ λᾱ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς E λόγος ὁ τῶν μβ νη ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΘΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν μβ νη. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΕ μοιρῶν ἐστιν μβ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΘΕ τῶν αὐτῶν κᾱ καὶ ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΘΕΚ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία μοιρῶν ἐστιν ῥία, διὰ δὲ τὰ προαποδεδειγμένα καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Σκορπίου γινομένη γωνία τῶν ἴσων ἔσται μοιρῶν ρια, ἑκατέρα δὲ ἥ τε ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου καὶ τῆς ἀρχῆς τῶν Ἰχθύων τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς μοιρῶν ξθ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ ΖΒ περιφέρεια ὑποκείσθω δύο δωδεκατημορίων, ὥστε τὸ Β σημεῖον εἶναι τὴν ἀρχὴν τοῦ Λέοντος καὶ τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΒΑ μοιρῶν εἶναι μᾱ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ β, τὴν δὲ διπλῆν τῆς ΑΗ μοιρῶν ρλθ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κδ, καὶ πάλιν τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΖΒ μοιρῶν ρκ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ, τὴν δὲ διπλῆν τῆς ΖΘ μοιρῶν ξ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ὅ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν μρ β πρὸς τὰ ρῑβ κδ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ξ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ λόγος ὁ τῶν κε νγ πρὸς τὰ ρκ· ἡ ἄρα ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ γίνεται τῶν αὐτῶν κε ἄγ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΕ μοιρῶν ἔσται κε ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΘE τῶν αὐτῶν ιβU+2220΄. ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΘΕΚ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία μοιρῶν ἐστιν ρβU+2220΄, διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Τοξότου περιεχομένη γωνία τῶν ἴσων ρβU+2220΄, ἑκατέρα δὲ ἥ τε ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τῶν Διδύμων καὶ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ὑδροχόου τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς μοιρῶν οζU+2220΄. καὶ δέδεικται ἡμῖν τὰ προκείμενα τῆς μὲν αὐτῆς ἐσομένης ἀγωγῆς καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι μικρομερεστέρων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων, ἀπαρκούσης δʼ ὡς πρὸς αὐτὴν τὴν τῆς πραγματείας χρῆσιν καὶ τῆς καθʼ ἕκαστον τῶν δωδεκατημορίων ἐκθέσεως.