Ε΄.

Ὅτανταν οὖν προαιρώμεθα λαμβάνειν, πόσον ἡ σελήνη καθʼ ἑκάστην τῶν παρόδων παραλλάσσει πρῶτον ἐπὶ τοῦ διʼ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου, ἐπισκεψόμεθα, πόσας ἰσημερινὰς ὥρας ἀπέχει τοῦ μεσημβρινοῦ κατὰ τὸ ὑποκείμενον κλίμα, καὶ τὰς εὑρεθείσας εἰσενεγκόντες εἰς τὸν τῶν γωνιῶν κανόνα τοῦ οἰκείου κλίματος καὶ τοῦ οἰκείου δωδεκατημορίου τὰς παρακειμένας τῇ ὥρᾳ μοίρας ἐν τῷ δευτέρῳ σελιδίῳ ἢ ὅλας ἢ τὰς ἐπιβαλλούσας τῷ μέρει τῆς ὥρας ἕξομεν, ἃς ἀπέχει τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ διʼ αὐτῶν γραφομένου μεγίστου κύκλου, ἃς εἰσενεγκόντες εἰς τὸν τῶν παραλλάξεων κανόνα σκεψόμεθα, κατὰ ποῖόν ἐστι στίχον τοῦ πρώτου σελιδίου, καὶ τὰ παρακείμενα τῷ ἀριθμῷ ἐν τοῖς ἐφεξῆς μετὰ τὸ τῶν ἡλιακῶν παραλλάξεων τέσσαρσι σελιδίοις, τουτέστιν τῷ τε γ΄ καὶ τῷ δ΄ καὶ τῷ ε΄ καὶ τῷ ϛʹ, χωρὶς ἕκαστον ἀπογραόμεθα· ἔπειτα τὸν κατʼ ἐκείνην τὴν ὥραν διακεκριμένον τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμὸν πρὸς τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον λαβόντες ἢ αὐτὸν ἤ, ἐὰν ὑπερπίπτῃ τὰς ρ μοίρας, τὸν λείποντα εἰς τὰς τξ τὸ ἥμισυ πάντοτε τῶν οὕτως εἰλημμένων μοιρῶν εἰσενεγκόντες εἰς τοὺς αὐτοὺς ἀριθμοὺς σκεψόμεθα, πόσα ἑξηκοστὰ παράκειται τῷ ἀριθμῷ χωρὶς ἔν τε τῷ ζ΄ καὶ η΄ σελιδίῳ, καὶ ὅσα μὲν ἂν ἐν τῷ ζ΄ σελιδίῳ εὑρεθῇ, τὰ τοσαῦτα ἑξηκοστὰ λαβόντες τοῦ ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ διαφόρου προσθήσομεν αἰεὶ τῇ τοῦ τρίτου σελιδίου παραλλάξει, ὅσα δʼ ἂν ἐν τῷ η΄ σελιδίῳ εὑρεθῇ, τὰ τοσαῦτα ἑξηκοστὰ λαβόντες τοῦ ἐν τῷ ϛ΄ σελιδίῳ διαφόρου προσθήσομεν αἰεὶ πάλιν τῇ τοῦ ε΄ σελιδίου παραλλάξει καὶ τῶν οὕτως γενομένων δύο παραλλάξεων ἐκθησόμεθα τὴν ὑπεροχήν· ἐξῆς δὲ λαβόντες, ὅσας ἀπέχει μέσως ἡ σελήνη μοίρας ἤτοι τῆς ἡλιακῆς ἢ τῆς ταύτην διαμετρούσης κατὰ τὴν ἐγγυτέραν ὁποτέρας αὐτῶν διάστασιν, εἰσοίσομεν καὶ ταύτας εἰς τοὺς ἐν τῷ α΄ σελιδίῳ ἀριθμούς, καὶ ὅσα ἐὰν παρακέηται πάλιν ἑξηκοστὰ ἐν τῷ θ΄ καὶ τελευταίῳ σελιδίῳ, τὰ τοσαῦτα ἑξηκοστὰ λαβόντες, ἧς ἐξεθέμεθα τῶν δύο παραλλάξεων ὑπεροχῆς, τὰ γενόμενα προσθήσομεν αἰεὶ τῇ ἐλάσσονι, τουτέστιν τῇ ἐκ τοῦ γ΄ καὶ δ΄ σελιδίου διακεκριμένῃ, καὶ τὰ συναχθέντα ἕξομεν, ἃ παραλλάσσει ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ διʼ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου, θεωρουμένης αὐτόθεν ἀπλῶς καὶ τῆς ἡλιακῆς παραλλάξεως κατὰ τὴν ὁμοίαν θέσιν ἕνεκα τῶν ἡλιακῶν ἐκλείψεων ἐκ τῶν ἐν τῷ β΄ σελιδίῳ παρακειμένων μοιρῶν τῇ πηλικότητι τῆς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας. ἵνα οὖν καὶ τὴν πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τότε γινομένην παράλλαξιν διακρίνωμεν κατά τε μῆκος καὶ κατὰ πλάτος, τὰς αὐτὰς πάλιν ἰσημερινὰς ὥρας, ἃς ἀπέχει τοῦ μεσημβρινοῦ ἡ σελήνη, εἰσενεγκόντες εἰς τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος ἐπισκεψόμεθα τὰς παρακειμένας τῷ ἀριθμῷ τῶν ὡρῶν μοίρας, ἐὰν μὲν πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ ᾖ ἡ σελήνη, τὰς ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ, ἐὰν δὲ μετὰ τὸν μεσημβρινόν, τὰς ἐν τῷ δ΄, κἂν μὲν ἐντὸς τῶν μοιρῶν ὦσιν, αὐτὰς ἀπογραψόμεθα, ἐὰν δʼ ὑπὲρ τὰς ??,τὰς λειπούσας εἰς τὰς ρη· τοσούτων γὰρ ἔσται ἡ ἐλάσσων τῶν περὶ τὴν ἐκκειμένην τομὴν γωνιῶν, οἵων ἡ μία ὀρθὴ ??τὰς ἀπογεγραμμένας οὖν μοίρας διπλώσαντες εἰσοίσομεν εἰς τὸ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνιον αὐτάς τε καὶ τὰς λειπούσας εἰς τὰς ρπ, καὶ ὄν ἄν ἔχῃ λόγον ἡ τὴν τῶν δεδιπλωμένων μοιρῶν περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα πρὸς τὴν ὑποτείνουσαν τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον, τοῦτον ἕξει τὸν λόγον ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις πρὸς τὴν κατὰ μῆκος, ἐπειδήπερ αἱ τηλι- καῦται τῶν κύκλων περιφέρειαι ἀδιαφοροῦσιν εὐθειῶν. πολυπλασιάζοντες οὖν τὸν ἀριθμὸν τῶν παρακειμένων εὐθειῶν ἐπὶ τὴν εὑρισκομένην ὡς ἐπὶ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου κύκλου παράλλαξιν καὶ τὰ γινόμενα μερίζοντες εἰς τὸν ρκ χωρὶς τὰ ἐκ τοῦ μερισμοῦ συναγόμενα μόρια ἕξομεν τῆς οἰκείας παραλλάξεως. καθόλου δὲ ἐπὶ μὲν τῶν κατὰ πλάτος παραλλάξεων, ὅταν μὲν τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ βορειότερον τοῦ τότε μεσουρανοῦντος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου, ἡ παράλλαξις ἔσται πρὸς μεσημβρίαν αὐτοῦ, ὅταν δὲ νοτιώτερον τὸ κατὰ κορυφὴν τοῦ μεσουρανοῦντος, πρὸς τὰς ἄρκτους ἡ κατὰ πλάτος ἔσται παράλλαξις, ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ μῆκος, ἐπειδὴ αἱ πηλικότητες τῶν ἐν τῷ κανόνι παρακειμένων γωνιῶν τὴν ἀπʼ ἄρκτων περιέχουσι τῶν δύο τῶν ὑπὸ τοῦ ἑπομένου τμήματος τοῦ διὰ μέσων ἑκατέρωθεν περιεχομένων, τῆς μὲν κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς ἄρκτους γινομένης, ἐὰν μὲν μείζων ὀρθῆς ἡ ἐκκειμένη γωνία, εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων ἡ κατὰ μῆκος ἔσται παράλλαξις, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς, εἰς τὰ ἑπόμενα, τῆς δὲ κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς μεσημβρίαν γινομένης ἀνάπαλιν, ἐὰν μὲν μείζων ᾖ ὀρθῆς ἡ ἐκκειμένη γωνία, εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἡ κατὰ μῆκος ἔσται παράλλαξις, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς, εἰς τὰ προηγούμενα. συνεχρησάμεθα μέντοι τοῖς προαποδεδειγμένοις περὶ τὸν ἥλιον ὡς μηδὲν αἰσθητὸν αὐτοῦ παραλλάσσοντος οὐκ ἀγνοοῦντες, ὅτι ποιήσει τινὰ περὶ αὐτὰ διαφορὰν ἡ κατανενοημένη καὶ περὶ αὐτὸν ἐκ τῶν ἐφεξῆς παράλλαξις, ἀλλʼ ἐπεὶ μὴ οὕτως ἀξιόλογον ἡγούμεθα περὶ τὰ φαινόμενα διὰ τοῦτο παρακολουθήσειν ἁμαρτίαν, ὥστʼ ἀναγκαῖον εἶναι κινῆσαί τινα τῶν ἄνευ τῆς τοιαύτης ἐπιστάσεως βραχείας γε οὔσης προδιειλημμένων· ὁμοίως δὲ καὶ πρὸς τὰς παραλλάξεις τῆς σελήνης ἠρκέσθημεν ταῖς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον γινομέναις ὑπὸ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου περιφερείαις τε καὶ γωνίαις ἀντὶ τῶν πρὸς τὸν λοξὸν τῆς σελήνης θεωρουμένων, ἐπεὶ τὸ μὲν ἐν ταῖς ἐκλειπτικαῖς συζυγίαις ἐσόμενον παρὰ τοῦτο διάφορον ἀνεπαίσθητον ἧν, τὸ δὲ καὶ ταύτας ἐκθέσθαι πολύχουν τε ταῖς δείξεσιν καὶ ἐργῶδες ἐν τοῖς ἐπιλογισμοῖς μὴ ὡρισμένων καθʼ ἑκάστην τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ παρόδων τῆς σελήνης καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διαστάσεων, ἀλλὰ καὶ τοῖς μεγέθεσιν καὶ ταῖς θέσεσιν αὐταῖς ποικίλας μεταβάσεις λαμβανουσῶν. ἵνα δʼ εὐκατανόητον γένηται τὸ λεγόμενον, ἐκκείσθω τὸ μὲν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμῆμα τὸ ΑΒΓ, τοῦ δὲ λοξοῦ τῆς σελήνης τὸ ΑΔ, καὶ σύνδεσμος μὲν ὑποκείσθω τὸ Α σημεῖον, τῆς δὲ σελήνης κέντρον τὸ Δ, καὶ γεγράφθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον ὀρθὴ ἡ ΔΒ, ἔστω δὲ πόλος τοῦ ὁρίζοντος τὸ Ε σημεῖον, καὶ γεγράφθω δι᾿ αὐτοῦ μεγίστου κύκλου τμῆμα διὰ μὲν τοῦ κέντρου τῆς σελήνης τὸ ΕΔΖ, διὰ δὲ τοῦ Β τὸ ΕΒ, παραλλασσέτω τε ἡ σελήνη τὴν ΔΗ περιφέρειαν, καὶ γεγράφθωσαν διʼ αὐτοῦ πρὸς τὰς ΒΔ καὶ ΒΖ ὀρθαὶ αἱ ΗΘ καὶ ΗΚ, ὥστε τῶν μὲν κατὰ μῆκος ἀποχῶν τοῦ συνδέσμου τὴν μὲν ἀκριβῆ γίνεσθαι τὴν ΑΒ, τὴν δὲ φαινομένην τὴν ΑΚ, τῶν δὲ κατὰ πλάτος ἀπὸ τοῦ διὰ μέσων τὴν μὲν ἀκριβῆ τὴν ΒΔ, τὴν δὲ φαινομένην τὴν ΚΗ, καὶ τῶν ἀπὸ τῆς ΔΗ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν θεωρουμένων παραλλάξεων κατὰ μῆκος μὲν τὴν ἴσην τῇ ΘΗ, κατὰ πλάτος δὲ τὴν ἴσην τῇ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΔΗ παράλλαξις εὑρίσκεται διὰ τῶν προεκτεθειμένων τῆς ΕΔ περιφερείας δοθείσης, ἑκατέρα δὲ τῶν ΔΘ καὶ ΘΗ παραλλάξεων τῆς ὑπὸ ΓΖΕ γωνίας δοθείσης, ἡμεῖς δʼ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἀπεδείξαμεν τὰς πρὸς τὰ δοθέντα τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖα γινομένας τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας τε καὶ γωνίας, μόνον δʼ ἔχομεν ἐνταῦθα δεδομένον τοῦ διὰ μέσων σημεῖον τὸ Β, φανερόν, ὅτι τῇ μὲν ΕΒ περιφερείᾳ συγχρώμεθα ἀντὶ τῆς ΕΔ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΒΕ γωνίᾳ ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΓΖΕ. ὁ μὲν οὖν Ἵππαρχος ἐπεχείρησε μὲν καὶ τὴν τοιαύτην διόρθωσιν ποιήσασθαι, πάνυ δʼ ἀνεπιστάτως καὶ παρὰ τὸν λόγον αὐτῇ φαίνεται προσβεβληκώς. πρῶτον μὲν γὰρ μιᾷ διαστάσει τῆς ΑΔ συγκέχρηται καὶ οὐχὶ πάσαις ἢ πλείοσιν, ὅπερ ἧν ἀκόλουθον τῷ καὶ περὶ τῶν μικρῶν ἀκριβολογεῖσθαι προελομένῳ· ἔπειτα καὶ πλείοσι τοῖς ἀτοπωτέροις ἔλαθεν περιπεσών. ἐπεὶ γὰρ καὶ αὐτὸς τάς τε περιφερείας καὶ τὰς γωνίας τὰς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων θεωρουμένας ἐτύγχανεν προαποδεδειχώς, καὶ ὅτι τῆς ΕΔ δοθείσης ἡ ΔΗ λαμβάνεται· τοῦτο γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ τῶν παραλλακτικῶν ἀποδείκνυσιν· συγχρῆται πρὸς τὴν τῆς ΕΔ περιφερείας δόσιν τῇ τε ΕΖ περιφερείᾳ καὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ γωνίᾳ ὡς δεδομέναις· οὕτως γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ τὴν ΖΔ ἐπιλογισάμενος καὶ λοιπὴν τὴν ΕΔ ὑποτίθεται. παρήγαγεν αὐτὸν μέντοι τὸ μὴ ἐπιστῆσαι, διότι τὸ Β καὶ οὐχὶ τὸ Ζ σημεῖόν ἐστι τοῦ διὰ μέσων τὸ δεδομένον, καὶ διὰ τοῦτο τῶν τε περιφερειῶν ἡ ΕΒ δέδοται καὶ οὐχὶ ἡ ΕΖ καὶ τῶν γωνιῶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ καὶ οὐχὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ. ἔνθεν καὶ πρὸς τὸ ποιήσασθαί τινα κἂν μερικὴν διόρθωσιν κεκίνηται πολλαχῆ γινομένης αἰσθητῆς πάνυ διαφορᾶς τῶν ΕΔ περιφερειῶν πρὸς τὰς ΕΖ διὰ τὸ πολὺ μᾶλλον ἐκείνων αὐτὰς μὴ δεδόσθαι, τῆς δὲ ΒΕ τῆς τῷ ὄντι δεδομένης ἡ πρὸς τὴν ΕΔ διαφορὰ τὸ πλεῖστον διοίσει μόνῳ τῷ τῆς ΒΔ καθʼ ἑκάστην τῶν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διαστάσεων μεγέθει. τὸ μέντοι τῆς κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐσομένης διορθώσεως ἀκόλουθον γένοιτʼ ἂν ἡμῖν ὑπ’ ὄψιν οὕτως. ἔστω γὰρ ζῳδιακὸς ὁ ΑΒΓ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ ὁ ΔΒΕ, ἡ δὲ σελήνη ἤτοι κατὰ τὸ Δ ἢ κατὰ τὸ Ε ἀπέχουσα κατὰ πλάτος τοῦ ΑΒΓ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου δεδομένην περιφέρειαν, οἷον τὴν ΒΔ καὶ τὴν ΒΕ, ὥστε τὰς μὲν πρὸς τὸ Β σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερείας ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ γωνίας δεδόσθαι, ζητεῖσθαι δὲ τὰς πρὸς τὸ Δ ἢ τὸ Ε γινομένας. ἐὰν μὲν δὴ τοιαύτην ἔχῃ θέσιν ὁ ζῳδιακός, ὥστε πρὸς ὀρθὰς γωνίας εἶναι τῷ διὰ τοῦ Ζ σημείου, ὃ ὑποκείσθω πόλος τοῦ ὁρίζοντος, καὶ διὰ τοῦ Β γραφομένῳ μεγίστῳ κύκλῳ, οἷον τῷ ΖΒ, συμπεσεῖται οὗτος δηλονότι τῇ ΔΕ περιφερείᾳ, καὶ ἡ μὲν γωνία ἡ πρὸς τὰ Δ καὶ Ε θεωρουμένη ἀδιάφορος ἔσται τῆς πρὸς τὸ Β ὑποκειμένης· ὀρθαὶ γὰρ καὶ αἱ διὰ τούτων πρὸς τὸν ζῳδιακὸν γινόμεναι· τῆς δὲ ΖΒ περιφερείας ἡ μὲν ΖΔ ἐλάσσων ἔσται τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΖΕ μείζων τῇ ΒΕ δεδομέναις καὶ αὐταῖς. ἐὰν δὲ συμπίπτῃ ὁ ΑΒΓ ζῳδιακὸς τῷ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένῳ μεγίστῳ κύκλῳ, καὶ ὑποθέμενοι πόλον τοῦ ὁρίζοντος τὸ Α ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΔ καὶ ΑΕ, καὶ αὗται διοίσουσι τῆς ΑΒ περιφερείας καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ καὶ ΒΑΕ γωνίαι τῆς μὴ οὔσης πρότερον. δίδονται δὲ αἱ μὲν ΑΔ καὶ ΑΕ τοῦ λόγου ὄντος ὡς ἐπʼ εὐθειῶν διὰ τὸ ἀδιάφορον ἀπό τε τῆς ΑΒ καὶ τῶν ΒΔ καὶ ΒΕ δεδομένων· τὰ γὰρ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ καὶ ΑΕ · ἀκολούθως δὲ αὐταῖς καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ καὶ ΒΑΕ γωνίαι. τῆς δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ θέσεως ἐγκεκλιμένης, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Ζ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπιζεύξωμεν τὰς ΖΒ καὶ ΖΗΔ καὶ ΖΕΘ, δεδομένη μὲν ἔσται ἥ τε ΖΒ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία καὶ πάλιν δηλονότι αἰ ΒΔ καὶ ΒΕ. ὀφείλουσιν δὲ δοθῆναι αἵ τε ΖΔ καὶ ΖΕ περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΖ καὶ ὑπὸ ΑΘΖ γωνίαι, δίδονται δὲ καὶ αὗται καθέτων ἀχθεισῶν ἐπὶ τὴν ΖΒ τῶν ΔΚ καὶ ΕΛ. ἐπειδὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία δέδοται, ὀρθὴ δὲ πάντοτε ἡ ὑπὸ ΑΒΕ, δίδοται τὰ ΒΚΔ καὶ ΒΛΕ ὀρθογώνια καὶ λόγος τῆς ΖΒ πρὸς τὰς περὶ τὴν ὀρθήν, ἐπεὶ καὶ πρὸς τὰς ΔΒ καὶ ΒΕ ὑποτεινούσας· ὥστε καὶ αἱ ΖΔ, ΖΕ ὑποτείνουσαι δοθήσονται διὰ τοῦτό τε καὶ αἱ ὑπὸ ΔΖΚ καὶ ὑπὸ ΕΖΛ γωνίαι ὑπεροχαὶ οὖσαι τῶν ἐπιζητουμένων· ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ ΑΗΖ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΒΖ τῇ ὑπὸ ΔΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΘΖ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΖ τῇ ὑπὸ ΕΖΛ . φανερὸν δʼ, ὅτι καὶ πλείστη γίνεται διαφορὰ τῆς αὐτῆς κατὰ πλάτος ἀποχῆς ὑποκειμένης τῶν μὲν γωνιῶν, ὅταν τὸ Β σημεῖον αὐτὸ ᾖ τὸ κατὰ κορυφήν· μηδεμιᾶς γὰρ πρὸς τὸ Β γινομένης γωνίας αἱ ἐπὶ τὰ Δ καὶ Ε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ὀρθὰς ποιοῦσιν πρὸς τῷ ζῳδιακῷ γωνίας· τῶν δὲ περιφερειῶν, ὅταν ἡ αὐτὴ θέσις ᾖ· μηδεμιᾶς γὰρ πάλιν γινομένης πρὸς τὸ Β περιφερείας αἰ πρὸς τὰ Δ καὶ Ε τηλικαῦται ἔσονται, ἡλίκαι ἂν ὦσιν καὶ αἰ τῆς κατὰ πλάτος παρόδου τῆς σελήνης· καὶ ὅταν ὀρθὸς πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ὁ διὰ τοῦ κατὰ κορυφήν· ὅλῃ γὰρ πάλιν τῇ κατὰ πλάτος παρόδῳ διοίσουσι τῆς ΖΒ αἱ ΖΔ καὶ ΖΕ περιφέρειαι· ἐν δὲ ταῖς ἄλλαις θέσεσιν ἐγκλινομένης τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΖΒ αἵ τε τῶν περιφερειῶν καὶ αἱ τῶν γωνιῶν ὑπεροχαὶ ἐπὶ τὸ ἔλαττον συναχθήσονται. ὥστε καί, ὅταν μὲν ε μοίρας ἡ σελήνη κατὰ πλάτος ἀπέχῃ τοῦ διὰ μέσων, ἡ πλείστη διαφορὰ τῶν παραλλάξεων ἔσται δέκα ἔγγιστα ἑξηκοστῶν· αἰ γὰρ τοῦ μεγίστου διαφόρου τῶν περιφερειῶν μοῖραι ε τοσαῦτα ποιοῦσιν ἑξηκοστὰ παραλλάξεως ἐπὶ τῶν μεγίστων ὑπεροχῶν καὶ ἐλαχίστων ἀποστημάτων· ὅταν δὲ τὴν ἐν ταῖς ἡλιακαῖς ἐκλείψεσιν μεγίστην πάροδον ἀπέχῃ· αὕτη δὲ γίνεται μιᾶς μοίρας ἔγγιστα καὶ ἡμίσους· τὰ ἴσα ἑξηκοστὰ ᾱ U+2220΄ διάφορον ἔσται τῆς παραλλάξεως τοῦ τοιούτου σπανίως συμπίπτοντος. ἡ μέντοι μέθοδος ἡ πρὸς τὴν τοιαύτην διόρθωσιν τῶν τε γωνιῶν καὶ τῶν περιφερειῶν γένοιτο ἂν πρόχέιρος τοῖς βουλομένοις ὡς ἐν οὕτως μικροῖς λόγοις τὸν τρόπον τοῦτον. καθόλου γὰρ τὸν τῶν γωνιῶν ἀριθμὸν διπλώσαντες καὶ εἰσενεγκόντες εἰς τὸ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνιον τὰ παρακείμενα αὐτῷ τε καὶ τῷ λείποντι εἰς τὰς τῶν δύο ὀρθῶν μοίρας ρπ χωρὶς πολυπλασιάσαντες ἐπὶ τὰς τοῦ πλάτους μοίρας τὸ ρκ΄ ἑκατέρων ἀπογραψόμεθα καὶ τὰ ἐκ τῆς πρώτης γωνίας γενόμενα ἀφελοῦμεν μὲν ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας, ὅταν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ᾖ τῷ κατὰ κορυφὴν ἡ σελήνη, προσθήσομεν δέ, ὅταν ἐπὶ τὰ ἐναντία, καὶ τὰ γενόμενα ποιήσαντες ἐφʼ ἑαυτὰ συνθέντες τε τοῖς ἐκ τῆς λειπούσης γωνίας γενομένοις τετραγωνισθεῖσι καὶ αὐτοῖς τῶν συναχθέντων τὴν πλευρὰν ἕξομεν οἰκείως τὴν ἐπιζητουμένην περιφέρειαν. ἔπειτα τὰ ἐκ τῆς λειπούσης γωνίας ἀπογεγραμμένα ἑκατοντακικαιεικοσάκι ποιήσαντες καὶ μερίσαντες χωρὶς εἰς τὰς εὑρημένας περιφερείας τῶν τοῖς γενομένοις παρακειμένων περιφερειῶν ἐν τῷ κανόνι τῶν εὐθειῶν τὰς ἡμισείας, ἐὰν μὲν μείζων ᾖ ἡ διωρθωμένη περιφέρεια τῆς πρώτης, προσθήσομεν ταῖς τῆς πρώτης γωνίας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων, ἀφελοῦμεν αὐτῶν, καὶ ἕξομεν καὶ τὴν γωνίαν διωρθωμένην. ὑποδείγματος δὲ ἕνεκεν ὑποκείσθω ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἡ μὲν ΖΒ περιφέρεια μοιρῶν με, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τοιούτων λ, οἵων ἡ μία ὀρθὴ ??,ἐκατέρα δὲ τῶν ΔΒ καὶ ΒΕ τοῦ πλάτους μοιρῶν ε. ἐπεὶ τοίνυν ταῖς μὲν διπλαῖς τῶν λ μοιρῶν, τουτἐστιν ταῖς ξ, παράκειται εὐθεῖα τμημάτων ξ, ταῖς δὲ λειπούσαις εἰς τὰς δύο ὀρθάς, τουτέστιν ταῖς ρκ, παράκειται εὐθεῖα τμημάτων ρδ ἔγγιστα, γίνεται λόγος τῆς ΒΛ πρὸς ΛΕ ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ ρδ. ὁ δʼ αὐτὸς καὶ τῆς ΒΚ πρὸς ΔΚ, οἵων ἡ ὑποτείνουσα ρκ. πολυπλασιάσαντες οὖν ἑκάτερον τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ τὰς ε μοίρας τῆς ὑποτεινούσης καὶ τὸ ρκ΄ αὐτῶν λαβόντες ἕξομεν ἑκατέραν μὲν τῶν ΚΒ καὶ ΒΛ τῶν αὐτῶν β λ, ἑκατέραν δὲ τῶν ΔΚ καὶ ΕΛ ὁμοίως δ κ. τὰ δὴ β λ πρῶτον, ἐὰν μὲν κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἡ σελήνη ὑποκέηται, ἀφελόντες τῶν τῆς ΖΒ περιφερείας μοιρῶν με διὰ τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ κατὰ κορυφὴν εἶναι τὴν κατὰ πλάτος ἀποχὴν τῆς σελήνης, τουτέστιν διὰ τὸ ἀμφότερα ἢ νοτιώτερα ἢ βορειότερα εἶναι τοῦ ζῳδιακοῦ, ἕξομεν τὴν ΖΛ μοιρῶν μβ λ, ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Δ ᾖ σελήνη, προσθέντες αὐταῖς διὰ τὸ ἐναντίον ἕξομεν τὴν ΖΚ μοιρῶν μζ λ. συνθέντες οὖν τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΛ καὶ ΖΚ χωρὶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΔΚ καὶ ΚΛ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῶν δ κ μετά τε τοῦ ἀπὸ τῶν μβ λ καὶ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῶν μζ λ, καὶ τῶν συναχθέντων χωρὶς λαβόντες τὴν πλευρὰν ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΖΕ περιφέρειαν μοιρῶν μβ μς ἔγγιστα, τὴν δὲ ΖΔ ὁμοίως μζ μδ. λοιπὸν δὲ τὰ δ κ ἑκατοντακικαιεικοσάκι ποιήσαντες καὶ παραβαλόντες χωρὶς παρά τε τὰ μβ μς καὶ παρὰ τὰ μζ μδ ἕξομεν τὴν μὲν ΕΛ τοιούτων ιβ η ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ ΖΕ ὑποτείνουσα ρκ, τὴν δὲ ΔΚ τοιούτων ῑ U+2220΄ γ΄ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ ΖΔ ὑποτείνουσα ρκ. παράκειται δὲ τῇ μὲν τῶν ιβ η εὐθείᾳ περιφέρεια μοιρῶν ῑᾱ καὶ γ ε΄, τῇ δὲ τῶν ῑ U+2220΄ γ΄ περιφέρεια μοιρῶν ῑ γ΄ ἔγγιστα, ὧν τὰ ἡμίση λαβόντες τὰ μὲν ε καὶ δ ε΄ τῆς ὑπὸ ΕΖΛ γωνίας ἀφείλομεν τῶν τῆς ὑπὸ ΑΒΖ γωνίας μοιρῶν λ διὰ τὸ καὶ τὴν ΖΕ περιφέρειαν ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΖΒ καὶ ἔσχομεν τὴν ὑπὸ ΑΘΖ γωνίαν μοιρῶν κδ ε΄, τὰ δὲ ε ς΄ τῆς ὑπὸ ΔΖΚ γωνίας προσθέντες τοῖς αὐτοῖς λ διὰ τὸ καὶ τὴν ΖΔ περιφέρειαν μείζονα εἶναι τῆς ΖΒ ἔσχομεν καὶ τὴν ὑπὸ ΑΗΖ γωνίαν μοιρῶν λε ς΄· ἄπερ προέκειτο μεθοδεῦσαι.