Δ΄.

Ταῦτα μὲν οὖν μέχρι τοσούτων ἡμῖν προτεθεωρήσθω, ποιησόμεθα δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῆς ἐκκειμένης σεληνιακῆς ἀνωμαλίας ἐπὶ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως, διʼ ἣν εἴπομεν αἰτίαν, τὸ μὲν πρῶτον ἀφʼ ὧν ἔχομεν ἀρχαιοτάτων ἐκλείψεων τρισὶ ταῖς ἀδιστάκτως δοκούσαις ἀναγεγράφθαι συγχρησάμενοι, ἐφεξῆς δὲ καὶ ἀπὸ τῶν ἐν τῷ νῦν χρόνῳ τρισὶ πάλιν ταῖς ὑφʼ ἡμῶν αὐτῶν ἀκριβέστατα τετηρημέναις· οὕτως γὰρ ἥ τε ἐξέτασις ἡμῖν ὑπάρξει, διʼ ὅσου γε μάλιστα δυνατὸν ἦν μακροῦ χρόνου, καὶ ἄλλως φανερὸν ἔσται, διότι τό τε παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον τὸ αὐτὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν δείξεων ἔγγιστα ἀποβήσεται, καὶ ἡ τῶν μέσων κινήσεων ἐπουσία σύμφωνος ἀεὶ εὑρεθήσεται τῇ κατὰ τοὺς ἐκκειμένους περιοδικοὺς χρόνους κατὰ τὴν ἡμετέραν διόρθωσιν ἐπισυναγομένῃ. πρὸς δὴ τὴν δεῖξιν τῆς πρώτης καὶ ὡς καθʼ αὑτὴν θεωρουμένης ἀνωμαλίας ἡ κατʼ ἐπίκυκλον ὑπόθεσις, ὡς ἔφαμεν, περιεχέτω τὸν τρόπον τοῦτον. νοείσθω γὰρ ἐν τῇ τῆς σελήνης σφαίρᾳ κύκλος ὁμόκεντρός τε καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κείμενος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων, πρὸς δὲ τοῦτον ἕτερος ἐγκεκλιμένος ἀναλόγως τῇ πηλικότητι τῆς κατὰ πλάτος παρόδου τῆς σελήνης περιφερόμενος ὁμαλῶς εἰς τὰ προηγούμενα περὶ τὸ κέντρον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοσοῦτον, ὅσον ἡ κατὰ πλάτος κίνησις ὑπερέχει τῆς κατὰ μῆκος. ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ λοξοῦ τούτου κύκλου φερόμενον ὑποτιθέμεθα τὸν καλούμενον ἐπίκυκλον ὁμαλῶς πάλιν εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ κόσμου ἀκολούθως τῇ κατὰ πλάτος ἀποκαταστάσει, ἥτις δηλονότι πρὸς αὐτὸν τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων θεωρουμένη τὴν κατὰ μῆκος ποιεῖται κίνησιν, ἐπὶ δὲ αὐτοῦ τοῦ ἐπικύκλου τὴν σελήνην ὡς κατὰ τὴν ἀπόγειον περιφέρειαν εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ κόσμου τὴν μετάβασιν ποιουμένην ἀκολούθως τῇ τῆς ἀνωμαλίας ἀποκαταστάσει. πρὸς μέντοι τὴν ὑποκειμένην δεῖξιν οὐδὲν ἂν παραποδιζοίμεθα μήτε τῆς διὰ τὸ πλάτος προηγήσεως μήτε τῆς λοξώσεως τοῦ σεληνιακοῦ κύκλου συμπαραλαμβανομένης οὐδεμιᾶς ἀξιολόγου διαφορᾶς τῇ κατὰ μῆκος παρόδῳ προσγινομένης ἐκ τῆς ἐπὶ τοσοῦτον ἐγκλίσεως. ὧν τοίνυν εἰλήφαμεν παλαιῶν τριῶν ἐκλείψεων ἐκ τῶν ἐν Βαβυλῶνι τετηρημένων, ἡ μὲν πρώτη ἀναγέγραπται γεγονυῖα τῷ πρώτῳ ἔτει Μαρδοκεμπάδου κατʼ Αἰγυπτίους Θὼθ κθʹ εἰς τὴν λ΄. ἤρξατο δέ, φησίν, ἐκλείπειν μετὰ τὴν ἀνατολὴν μιᾶς ὥρας ἱκανῶς παρελθούσης καὶ ἐξέλειπεν ὅλη. ἐπειδὴ οὖν ὁ ἥλιος περὶ τὰ ἔσχατα τῶν Ἰχθύων ἦν, καὶ ἡ νὺξ ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβ ἔγγιστα, ἡ μὲν ἀρχὴ τῆς ἐκλείψεως ἐγένετο δηλονότι πρὸ δ U+2220΄ ἁρῶν ἰσημεριῶν τοῦ μεσονυκτίου, ὁ δὲ μέσος χρόνος, ἐπειδήπερ τελεία ἦν ἡ ἔκλειψις, πρὸ β U+2220΄ ὡρῶν. ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ἄρα, ἐπειδήπερ πρὸς τὸν διʼ αὐτῆς μεσημβρινὸν τὰς ὡριαίας ἐποχὰς συνιστάμεθα, προηγεῖται δὲ ὁ διʼ αὐτῆς μεσημβρινὸς τοῦ διὰ Βαβυλῶνος ἡμίσει καὶ τρίτῳ ἔγγιστα μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς, ὁ μέσος χρόνος γέγονεν τῆς προκειμένης ἐκλείψεως πρὸ γ καὶ γ΄ ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου, καθʼ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος κατὰ τοὺς ἐκτεθειμένους ἡμῖν ἐπιλογισμοὺς ἐπεῖχεν ἀκριβῶς τῶν Ἰχθύων μοίρας κδ U+2220΄ ἔγγιστα. ἡ δὲ δευτέρα τῶν ἐκλείψεων ἀναγέγραπται γεγονυῖα τῷ δευτέρῳ ἔτει τοῦ αὐτοῦ Μαρδοκεμπάδου κατʼ Αἰγυπτίους Θὼθ ιη΄ εἰς τὴν ιθ΄. ἐξέλειπε δέ, φησίν, ἀπὸ νότου δακτύλους γ αὐτοῦ τοῦ μεσονυκτίου. ἐπεὶ οὖν ὁ μέσος χρόνος ἐν Βαβυλῶνι φαίνεται γεγονὼς κατʼ αὐτὸ τὸ μεσονύκτιον, ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ὀφείλει γεγονέναι πρὸ U+2220΄ καὶ γʹ μέρους μιᾶς ὥρας τοῦ μεσονυκτίου, καθʼ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος ἐπεῖχεν ἀκριβῶς τῶν Ἰχθύων μοίρας ιγ U+2220΄ δ΄. ἡ δὲ γ΄ τῶν ἐκλείψεων ἀναγέγραπται γεγονυῖα τῷ αὐτῷ δευτέρῳ ἔτει τοῦ Μαρδοκεμπάδου κατʼ Αἰγυπτίους Φαμενὼθ ιεʹ εἰς τὴν ιϛ΄. ἤρξατο δέ, φησίν, ἐκλείπειν μετὰ τὴν ἀνατολὴν καὶ ἐξέλειπεν ἀπʼ ἄρκτων πλεῖον τοῦ ἡμίσους. ἐπειδὴ οὖν ὁ ἥλιος περὶ τὴν ἀρχὴν ἦν τῆς Παρθένου, τὸ μὲν τῆς νυκτὸς μέγεθος ἐν Βαβυλῶνι ια ἔγγιστα ὡρῶν ἐτύγχανεν ἰσημερινῶν, τὸ δὲ ἥμισυ τῆς νυκτὸς ε U+2220΄ ὡρῶν· καὶ ἡ μὲν ἀρχὴ ἄρα τῆς ἐκλείψεως γέγονε πρὸ πέντε μάλιστα ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου διὰ τὸ μετὰ τὴν ἀνατολὴν ἦρχθαι, ὁ δὲ μέσος χρόνος πρὸ γ U+2220΄ ὡρῶν, ἐπειδήπερ ὁ πᾶς χρόνος τοῦ τηλικούτου μεγέθους τῆς ἐπισκοτήσεως τριῶν ἔγγιστα ὡρῶν ὀφείλει γεγονέναι. ἐν Ἀλεξανδρείᾳ πάλιν ἄρα ὁ μέσος χρόνος τῆς ἐκλείψεως ἀπετελέσθη πρὸ δ καὶ γʹ ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου, καθʼ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος ἐπεῖχεν ἀκριβῶς τῆς Παρθένου μοίρας γ δ΄ ἔγγιστα. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου χρόνου τῆς πρώτης ἐκλείψεως ἐπὶ τὸν τῆς δευτέρας κεκίνηται ὁ ἥλιος, τουτέστι καὶ ἡ σελήνη, μεθʼ ὅλους κύκλους μοίρας τμθ ιε, ἀπὸ δὲ τοῦ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως μέσου χρόνου ἐπὶ τὸν τῆς τρίτης μοίρας ρξθ λ. ἀλλὰ καὶ ἡ τῶν μεταξὺ χρόνων διάστασις ἀπὸ μὲν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν δεύτερον ἡμέρας περιέχει τνδ καὶ ὥρας ἰσημερινὰς ἁπλῶς μὲν οὕτως θεωροῦσιν δύο ἥμισυ, πρὸς δὲ τὸν τῶν ὁμαλῶν νυχθημέρων ἐπιλογισμὸν δύο ἥμισυ πεντεκαιδέκατον, ἀπὸ δὲ τοῦ δευτέρου ἐπὶ τὸν τρίτον ἡμέρας ρος καὶ ὥρας ἰσημερινὰς ἀπλῶς μὲν πάλιν κ U+2220΄, ἀκριβῶς δὲ κ πέμπτον. κινεῖται δὲ ὁμαλῶς ἡ σελήνη· πρὸς γὰρ τὸν τοσοῦτον χρόνον οὐδενὶ αἰσθητῷ διοίσει, κἂν ταῖς σύνεγγυς τῶν ἀκριβῶν περιόδων τις ἀκολουθήσῃ· ἐν μὲν ταῖς τνδ ἡμέραις καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς β U+2220΄ ιε΄ ἀνωμαλίας μὲν μεθʼ ὅλους κύκλους μοίρας τ κε, μήκους δὲ μοίρας τμε να, ἐν δὲ ταῖς ρος ἡμέραις καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς κ καὶ πέμπτῳ ἀνωμαλίας μὲν μοίρας ρ κς, μήκους δὲ μοίρας ρο ζ ἔγγιστα. δῆλον οὖν, ὅτι αἰ μὲν τῆς πρώτης διαστάσεως τοῦ ἐπικύκλου μοῖραι ις κε προστεθείκασι τῇ μέσῃ κινήσει τῆς σελήνης μοίρας γ κδ, αἱ δὲ τῆς δευτέρας διαστάσεως μοῖραι ρ κς ἀφῃρήκασι τῆς μέσης κινήσεως μοίρας ο λξ. τούτων ὑποκειμένων ἔστω ὁ τῆς σελήνης ἐπίκυκλος ὁ Α Β Γ, καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ἔστω, καθʼ οὗ ἦν ἡ σελήνη ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς πρώτης ἐκλείψεως, τὸ δὲ Β, καθʼ οὗ ἦν ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, τὸ δὲ Γ, καθʼ οὗ ἦν ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς τρίτης ἐκλείψεως. νοείσθω δὲ ἡ τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου μετάβασις ὡς ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Α καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ γινομένη, ὥστε τὴν μὲν Α Γ Β περιφέρειαν, ἣν ἐπικεκίνηται ἀπὸ τῆς πρώτης ἐκλείψεως ἐπὶ τὴν δευτέραν, μοιρῶν οὖσαν ις κε προστιθέναι τῇ μέσῃ μοίρας γ κδ, τὴν δὲ Β Α Γ, ἣν κεκίνηται ἀπὸ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως ἐπὶ τὴν τρίτην, μοιρῶν οὖσαν ρ κς ἀφαιρεῖν τῆς μέσης μοίρας ο λζ, διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Α πάροδον μοιρῶν οὖσαν νγ λε ἀφαιρεῖν τῆς μέσης τὰς αὐτὰς μοίρας γ κδ, τὴν δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ μοιρῶν οὖσαν ??ς να προστιθέναι τῇ μέσῃ μοίρας β μζ. ὅτι μὲν οὖν οὐ δυνατὸν ἐπὶ τῆς Β Α Γ περιφερείας τὸ περιγειότατον εἶναι τοῦ ἐπικύκλου, φανερὸν ἐκ τοῦ ἀφαιρετικήν τε αὐτὴν ὑπάρχειν καὶ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου τῆς μεγίστης κινήσεως κατὰ τὸ περίγειον ὑποκειμένης. ἐπεὶ δὲ πάντως ἐπὶ τῆς Β Ε Γ, εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ φέροντος τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ τῶν γ ἐκλείψεων σημεῖα εὐθεῖαι αἱ Δ Α, Δ Ε Β, Δ Γ. καθόλου τοίνυν, ἵνα καὶ πρὸς τὰς ὁμοίας δείξεις εὐεπίβολον τὴν μεταγωγὴν τοῦ θεωρήματος ποιώμεθα, ἐάν τε διὰ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως αὐτὰς ὡς νῦν δεικνύωμεν ἐάν τε διὰ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα τοῦ Δ κέντρου τότε ἐντὸς λαμβανομένου, μία μὲν τῶν ἐπιζευγνυμένων τριῶν εὐθειῶν ἐκβαλλέσθω ἐπὶ τὴν ἀντικειμένην περιφέρειαν, ὡς ἐνθάδε τὴν Δ Ε Β αὐτόθεν ἔχομεν διεκβεβλημένην ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Β τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, τὰ δὲ λοιπὰ δύο σημεῖα τῶν ἐκλείψεων ἐπιζευγνύτω εὐθεῖα ὡς ἐνθάδε ἡ Α Γ, καὶ ἀπὸ τῆς γενομένης τομῆς ὑπὸ τῆς ἐκβεβλημένης, οἷον τοῦ Ε, ἐπιζευγνύσθωσαν μὲν ἐπὶ τὰ λοιπὰ δύο σημεῖα εὐθεῖαι, ὡς ἐνθάδε αἱ Ε Α, Ε Γ, κάθετοι δὲ ἀγέσθωσαν ἐπὶ τὰς ἀπὸ τῶν λοιπῶν δύο σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ἐπιζευγνυμένας εὐθείας ἐπὶ μὲν τὴν Α Δ ἡ Ε Ζ, ἐπὶ δὲ τὴν Γ Δ ἡ Ε Η, καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν εἰρημένων δύο σημείων, ὡς ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ Γ, κάθετος ἀγέσθω ἐπὶ τὴν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν, οἷον τοῦ Α, ἐπὶ τὴν γενομένην ὑπὸ τῆς διεκβολῆς περισσὴν τομήν, οἷον τὸ Ε, ἐπιζευχθεῖσαν εὐθεῖαν, ὡς ἐνθάδε ἐπὶ τὴν Α Ε ἡ Γ Θ· ὁπόθεν γὰρ ἂν χρησώμεθα τῇ τῆς καταγραφῆς ἀγωγῇ, τοὺς αὐτοὺς εὑρήσομεν ἐκβαίνοντας λόγους διὰ τῶν τῆς δείξεως ἀριθμῶν τῆς ἐκλογῆς πρὸς τὸ εὔχρηστον μόνον καταλειπομένης. ἐπεὶ τοίνυν ἡ Β Α περιφέρεια ὑποτείνουσα ἐδείχθη τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας γ κδ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Α γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ αὐτοῦ οὖσα, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων γ κδ, οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ϛ μη. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων ς μη, οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Ζ ὀρθογώνιον γραφόμενος κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων ζ ζ o, οἵων ἐστὶ ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ Β Α περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν νγ λε, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Ε Α γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων νγ λε, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Α γωνία ς μη· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Α Ζ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν μς μζ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν μς μζ, οἵων ὁ περὶ τὸ Α Ε Ζ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων μζ λη λ, οἵων ἐστὶν ἡ Ε Α ὑποτείνουσα ρκ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν Ε Ζ εὐθεῖα ζ ζ o, ἡ δὲ Ε Α ρκ, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ A Ε εὐθεῖα ιζ νε λβ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ Β Α Γ περιφέρεια ὑποτείνει τοῦ ζῳδιακοῦ μοίρας o λζ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ τοῦ αὐτοῦ οὖσα, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων o λζ, οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων α ιδ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν α ιδ, οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Η τρίγωνον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων α ιζ λ, οἵων ἐστὶν ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ Β Α Ι’ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρν κς, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρν κς, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Γ γωνία α ιδ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Γ Δ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρμθ ιβ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρμθ ιβ, οἵων ὁ περὶ τὸ Γ Ε ὀρθογώνιον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων ριε μα κα, οἵων ἐστὶν ἡ Γ Ε ὑποτείνουσα ρκ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν Ε Η εὐθεῖα α ιζ λ, ἡ δὲ Δ Ε ρκ, τοιούτων ἐστὶν ἡ Γ Ε εὐθεῖα α κ κγ. τῶν δὲ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Ε Α εὐθεῖα ιζ νε λβ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ Α Γ περιφέρεια μοιρῶν ἐδείχθη ??ς να, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ??s να, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Γ Θ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ??ς αν, οἵων ὁ περὶ τὸ Γ Ε Θ τρίγωνον τξ, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς Ε Θ περιφέρεια τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον πγ θ· καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἄρα αὐτὰς εὐθεῖαι ἔσονται ἡ μὲν Γ Θ τοιούτων πθ μς ιδ, οἵων ἐστὶν ἡ Γ Ε ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ Ε Θ τῶν αὐτῶν οθ λζ νε. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Γ Ε εὐθεῖα α κ κγ, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν Γ Θ εὐθεῖα α o η, ἡ δὲ Ε Θ ὁμοίως o νγ κα. τῶν δὲ αὐτων ἦν ἡ Ε Α ὅλη ιζ νε λβ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Θ Α τοιούτων ἐστὶν ιζ β ια, οἵων ἡ Γ Θ ἐδείχθη α η. καί ἐστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς Α Θ τετράγωνον σ ιδ ιθ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Γ Θ ὁμοίως α o ιζ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α Γ τετράγωνον σ̣?α ιδ λς· μήκει ἄρα ἐστὶν ἡ Α Γ τοιούτων ιζ γ νζ, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα ρκ, ἡ δὲ Γ Ε τῶν αὐτῶν α κγ. ἔστι δὲ καί, οἵων ἡ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, τοιούτων ἡ Α Γ εὐθεῖα πθ μς ιδ· ὑποτείνει γὰρ τὴν Α Γ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ??ς να. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α Γ εὐθεῖα πθ μς ιδ, ἡ δὲ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα χλα ιγ μη, ἡ δὲ Γ Ε τῶν αὐτῶν ζ β ν· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια ἡ Γ Ε τοιούτων ϛ μδ α, οἵων ἐστὶν ὁ ἐπίκυκλος τξ. τῶν δὲ αὐτῶν ὑπόκειται καὶ ἡ Β Α Ι’ περιφέρεια ρν κς· καὶ ὅλη μὲν ἄρα ἡ Β Γ Ε περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρνζ ι α, ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ Β Ε τοίουτῶν ριζ λ λβ, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, ἡ δὲ Ε Δ εὐθεῖα χλα ιγ μὴ. εἰ μὲν οὖν ἡ Β Ε εὐθεῖα ἵση ἦν εὑρημένη τῇ διαμέτρῳ τοῦ ἐπικύκλου, ἐπʼ αὐτῆς ἂν ἐτύγχανεν δηλονότι τὸ κέντρον αὐτοῦ, καὶ αὐτόθεν ἂν ἐφαίνετο τῶν διαμέτρων ὁ λόγος· ἐπεὶ δʼ ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς, ἐλάσσων δὲ καὶ ἡ Β Γ Ε περιφέρεια ἡμικυκλίου, δῆλον, ὅτι τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ Β Α Γ Ε τμήματος. ὑποκείσθω δὴ τὸ Κ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου διὰ τοῦ Κ εὐθεῖα ἡ Δ Μ Κ Λ, ὥστε τὸ μὲν Λ σημεῖον γίνεσθαι τὸ ἀπογειότατον τοῦ ἐπικύκλου, τὸ δὲ Μ τὸ περιγειότατον. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν Β Δ καὶ Δ Ε περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ Δ καὶ Δ M περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ ,δέδεικται δʼ Δ ἡμῖν, ὅτι, οἵων ἐστὶν τοῦ ἐπικύκλου ἡ διάμετρος, τουτέστιν ἡ Λ Κ Μ εὐθεῖα, ρκ, τοιούτων ἐστὶν ἡ μὲν Β Ε εὐθεῖα ριζ λζ λβ, ἡ δὲ Ε Δ τῶν αὐτῶν χλα ιγ μη, ἡ δὲ Β Δ ὅλη δηλονότι ψμη να κ, γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν Β Δ καὶ Δ Ε, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν Λ Δ καὶ Δ Μ, περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῶν αὐτῶν M μζ β καὶ ἑξηκοστῶν ε λβ. πάλιν δέ, ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ Λ Δ καὶ Δ Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Κ Μ ποιεῖ τὸ ἀπὸ Δ Κ τετράγωνον ,ἡ δὲ Κ Μ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου τῶν αὐτῶν ἐστιν ξ, ἐὰν τὰ γχ τοῦ ἀπʼ αὐτῆς τετραγώνου προσθῶμεν ταῖς Μ β ε λβ, ἕξομεν τὸ ἀπὸ Δ Κ τετράγωνον τῶν αὐτῶν Μ μζ ς ε λβ καὶ μήκει ἄρα ἔσται ἡ Δ Κ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοιούτων χ̣? καὶ ἑξηκοστῶν η μβ, οἵων ἐστὶν ἡ Κ Μ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ἑξήκοντα. ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον ὁμοκέντρου τῇ ὄψει κύκλου ἑξήκοντα, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιγ ἔγγιστα. ἤχθω δὴ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἀπὸ τοῦ Κ κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β Ε ἡ Κ Ν Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β Κ. ἐπεὶ τοίνυν, οἵων ἐστὶν ἡ Δ χ̣? η μβ, τοιούτων ἦν καὶ ἡ μὲν Δ Κ εὐθεῖα χλα ιγ μη, ἡ δὲ Ν Ε ἡμίσεια οὖσα τῆς Β Ε τῶν αὐτῶν νη μη μς, ὥστε καὶ ὅλην τὴν Δ Ε Ν τῶν αὐτῶν γίνεσθαι χ̣? καὶ ἑξηκοστῶν β λδ, καὶ οἵων ἄρα ἡ Δ Κ ὑποτείνουσά ἐστιν ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν Δ Ν ἔσται ριθ νη νζ, ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ροη β ἔγγιστα, οἵωον ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Δ Ν Κ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ Δ Κ Ν γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν ροη β, οἵων δὲ αἰ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων πθ α. καὶ ἡ μὲν Ξ Μ ἄρα τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πθ α, ἡ δὲ Λ Β Ξ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ??νθ. τῶν δὲ αὐτῶν ἐστιν ἡ Ξ Β περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς Β Ξ Ε μοιρῶν οη λε, ἐπειδήπερ ἡ Β Ε ὅλη ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Λ Β τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια, ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ ἀπογειοτάτου κατὰ τὸν ἐκκείμενον μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, μοιρῶν ἐστιν ιβ κδ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ Δ Κ Ν γωνία ἐδείχθη τοιούτων πθ α, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, καὶ λοιπὴ ἔσται ἡ ὑπὸ Κ Δ Ν γωνία, ἥτις ὑποτείνει τὴν ἀφαιρουμένην τῆς μέσης κατὰ μῆκος παρόδου περιφέρειαν ἐκ τῆς παρὰ τὴν Λ Β τοῦ ἐπικύκλου γινομένης ἀνωμαλίας, τῶν λοιπῶν εἰς τὴν μίαν ὀρθὴν μοιρῶν ο νθ. καὶ κατὰ μῆκος ἄρα μέσως ἐπεῖχεν ἡ σελήνη κατὰ τὸν μέσο χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως Παρθένου μοίρας ιδ μδ, ἐπειδήπερ ἀκριβῶς ἐπεῖχε μοίρας ιγ με, ὅσας καὶ ὁ ἥλιος ἐν τοῖς Ἰχθύσι. πάλιν, ὧν εἰλήφαμεν τριῶν ἐκλείψεων ἐκ τῶν ἐπιμελέστατα ἡμῖν ἐν Ἀλεξανδρείᾳ τετηρημένων, ἡ μὲν πρώτη γέγονε τῷ ιζʹ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Παϋνὶ κʹ εἰς τὴν καʹ, τὸν δὲ μέσον χρόνον ἀκριβῶς ἐπελογισάμεθα γεγονέναι πρὸ ἡμίσους καὶ τετάρτου μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς τοῦ μεσονυκτίου· καὶ ἐξέλειπεν ὅλη, καθʼ ἣν ὥραν ἀκριβῶς ἐπεῖχεν ὁ ἥλιος τοῦ Ταύρου μοίρας ιγ δʹ ἔγγιστα. ἡ δὲ δευτέρα γέγονε τῷ ιθʹ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Χοϊὰκ βʹ εἰς τὴν γʹ, τὸν δὲ μέσον χρόνον ἐπελογισάμεθα γεγονέναι πρὸ α ὥρας ἰσημερινῆς τοῦ μεσονυκτίου· καὶ ἐξέλειπεν ἀπʼ ἄρκτων τὸ U+2220ʹ καὶ γʹ τῆς διαμέτρου, καθʼ ἣν ὥραν ἐπεῖχεν ὁ ἥλιος ἀκριβῶς τῶν Χηλῶν μοίρας κε ςʹ ἔγγιστα. ἡ δὲ τρίτη τῶν ἐκλείψεων γέγονεν τῷ κʹ ἔτει Αδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Φαρμουθὶ ιθʹ εἰς τὴν κʹ, τὸν δὲ μέσον χρόνον ἐπελογισάμεθα γεγονέναι μετὰ δ ὥρας ἰσημερινὰς τοῦ μεσονυκτίου· καὶ ἐξέλειπε τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἀπʼ ἄρκτων, ἐπεῖχε δὲ καὶ κατὰ ταύτην τὴν ὥραν ὁ ἥλιος τῶν Ἰχθύων μοίρας ιδ ιβ΄ ἔγγιστα. Φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ ἐνταῦθα κεκίνηται ἡ σελήνη μεθʼ ὅλους κύκλους ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου χρόνου τῆς πρώτης ἐκλείψεως ἐπὶ τὸν μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, ὅσας καὶ ὁ ἥλιος, μοίρας ρξα νε, ἀπὸ δὲ τοῦ τῆς δευτέρας ἐπὶ τὸν τῆς τρίτης μοίρας ρλη νε. ἔστιν δὲ καὶ ὁ μεταξὺ χρόνος τῆς μὲν πρώτης διαστάσεως ἐνιαυτοῦ Αἰγυπτιακοῦ ἑνὸς καὶ ἡμερῶν ρξς καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ἀπλῶς μὲν κγ U+2220΄ δʹ, ἀκριβῶς δὲ κγ U+2220ʹ ηʹ, τῆς δὲ δευτέρας διαστάσεως ἐνιαυτοῦ πάλιν Αἰγυπτιακοῦ ἑνὸς καὶ ἡμερῶν ρλζ καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ἁπλῶς μὲν ε, ἀκριβῶς δὲ ε U+2220΄. κινεῖται δὲ πάλιν ἡ σελήνη μέσως μεθʼ ὅλους κύκλους ἐν μὲν τῷ ἑνὶ ἔτει καὶ ἡμέραις ρξς καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς κγ U+2220΄ ηʹ ἀνωμαλίας μὲν μοίρας ρι κα, μήκους δὲ μοίρας ρξθ λζ ἔγγιστα, ἐν δὲ τῷ ἑνὶ ἔτει καὶ ἡμέραις ρλζ καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς U+2220΄ ἀνωμαλίας μὲν μοίρας πα λς, μήκους δὲ μοίρας ρλζ λδ ἔγγιστα. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ αἱ μὲν τῆς πρώτης διαστάσεως τοῦ ἐπικύκλου μοῖραι ρι κα ἀφῃρήκασιν τῆς κατὰ μῆκος μέσης παρόδου μοίρας ζ μβ, αἱ δὲ τῆς δευτέρας διαστάσεως μοῖραι πα λς προστεθείκασιν τῇ κατὰ μῆκος μέσῃ παρόδῳ μοίρας α κα. τούτων οὖν ὑποκειμένων ἔστω πάλιν ὁ ἐπίκυκλος τῆς σελήνης ὁ Α Β Γ, καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ὑποκείσθω, καθʼ οὗ ἦν ἡ σελήνη ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς πρώτης ἐκλείψεως, τὸ δὲ Β τὸ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, τὸ δὲ Γ τὸ τῆς τρίτης, νοείσθω δὲ ὡσαύτως ἡ μετάβασις τῆς σελήνης ὡς ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, εἶτα ἐπὶ τὸ Γ γινομένη, ὥστε τὴν μὲν Α Β περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ρι κα ἀφαιρεῖν, ὡς ἔφαμεν, τῆς κατὰ μῆκος μέσης παρόδου μοίρας ζ μβ, τὴν δὲ Β Γ μοιρῶν οὖσαν πα λς προστιθέναι τῷ μήκει μοῖραν α κα, λοιπὴν δὲ τὴν Γ Α μοιρῶν οὖσαν ρξη γ προστιθέναι τῷ μήκει τὰς λοιπὰς μοίρας ς κα. ὅτι μὲν οὖν ἐπὶ τῆς Α Β περιφερείας τὸ ἀπογειότατον εἶναι δεῖ, φανερὸν ἐκ τοῦ μήτε ἐπὶ τῆς Β Γ εἶναι δύνασθαι μήτε ἐπὶ τῆς Γ Α διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν προσθετικήν τε εἶναι καὶ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου. εἰλήφθω δὲ ὅμως ὡς μὴ ὑποκειμένου τούτου τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ κύκλου, ἐφʼ οὗ φέρεται ὁ ἐπίκυκλος, καὶ ἔστω τὸ Δ, ἐπεζεύχθωσάν τε ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ τῶν γ ἐκλείψεων σημεῖα εὐθεῖαι αἱ Δ Ε Α, Δ Β, Δ Γ, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς Β Γ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου εὐθεῖαι ἐπὶ μὲν τὰ Β, αἱ Ε Β, Ε Γ. ἐπὶ δὲ τὰς Β Δ, Δ Γ εὐθείας κάθετοι αἱ Ε καὶ Ε Η, καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν Β Ε κάθετος ἤχθω ἡ Γ Θ. ἐπεὶ τοίνυν ἡ Α Β περιφέρεια ὑποτείνει τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας ζ μβ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ζ μβ, οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιε κδ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ιε κδ, οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Ζ τρίγωνον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων ις δ μβ, οἵων ἐστὶν ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ Α Β περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρι κα εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Ε Β γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρι κα, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. τῶν δʼ αὐτων ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β ιε κδ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Β Δ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν ??δ νζ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ??δ νζ, οἵων ὁ περὶ τὸ Β Ε κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων πη κς ιζ, οἵων ἐστὶν ἡ Β Ε ὑποτείνουσα ρκ. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Ε Ζ εὐθεῖα ις δ μβ, ἡ δὲ Δ Ε ρκ, τοιούτων ἐστὶν καὶ ἡ Β Ε εὐθεῖα κα μη νθ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ Γ Ε Α περιφέρεια ὑποτείνουσα ἐδείχθη τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας ς κα, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ς κα, οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιβ μβ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ιβ μβ, οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων ιγ ις ιθ, οἵων ἐστὶν ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ Α Β Γ περιφέρεια συνάγεται μοιρῶν ρ̣?α νζ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρ̣?α νζ, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Γ γωνία ιβ μβ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ E Γ Δ τῶν αὐτῶν ἐστιν ροθ ιε. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ροθ ιε, οἵων ὁ περὶ τὸ Γ Ε Η τρίγωνον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων ἐστὶν ριθ νθ ν, οἵων ἐστὶν ἡ Γ Ε ὑποτείνουσα ρκ. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Ε Η εὐθεῖα ιγ ις ιθ, ἡ δὲ Δ Ε ἐδείχθη ρκ, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ Γ E εὐθεῖα ιγ ιϛ κ. τῶν δὲ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Β Ε εὐθεῖα κα μη νθ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ Β Γ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πα λς, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων πα λς, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Γ Θ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν πα λς, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Γ Ε Θ τρίγωνον κύκλος τξ, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς Ε Θ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον κδ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Γ Θ ἔσται τοιούτων οη κδ λζ, οἵων ἐστὶν ἡ Ε Γ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ Ε Θ τῶν αὐτῶν κβ· καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Γ Ε εὐθεῖα ιγ ις κ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν Γ Θ ἔσται η μ κ, ἡ δὲ Ε Θ ὁμοίως ι β μθ. τῶν δὲ αὐτῶν ἦν ἡ Ε Β ὅλη κα μη νθ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Θ Β τοιούτων ἔσται ια μϛ ι, οἵων καὶ ἡ Γ Θ ἦν η μ κ. καί ἐστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς Θ Β τετράγωνον ρλη λα ια, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Γ Θ τῶν αὐτῶν οε ιβ κζ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Β Γ τετράγωνον σιγ μγ λη· μήκει ἄρα ἐστὶν ἡ Β Γ τοιούτων ιδ λζ ι, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα ρκ, ἡ δὲ Γ Ε ὁμοίως ιγ ις κ. ἔστιν δὲ καί, οἵων ἡ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, τοιούτων ἡ Γ Β εὐθεῖα οη κδ λζ· ὑποτείνει γὰρ τὴν Β Γ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν πα λς· καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Β Γ εὐθεῖα οη κδ λζ, ἡ δὲ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα χμγ λϛ λθ, ἡ δὲ Γ Ε τῶν αὐτων οα ια δ. ὥστε καὶ ἡ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια ἡ Γ Ε τοιούτων ἐστὶν οβ μς ι, οἵων ὁ ἐπίκυκλος τξ. τῶν δὲ αὐτῶν ἡ Γ Ε Α ὑπόκειται ρξη γ· καὶ λοιπὴ μὲν ἄρα ἡ Ε Α περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ??ε ις ν, ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ Α Ε τοιούτων πη μ ιζ, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, ἡ δὲ Ε Δ εὐθεῖα χμγ λϛ λθ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἡ Ε Α περιφέρεια ἐλάσσων ἐδείχθη ἡμικυκλίου, δῆλον, ὅτι τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ Ε Α τμήματος. εἰλήφθω δὴ καὶ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Δ Μ Κ Λ, ὥστε πάλιν τὸ μὲν Λ σημεῖον γίνεσθαι τὸ ἀπογειότατον, τὸ δὲ Μ τὸ περιγειότατον. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ Α Δ καὶ Δ Ε περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ Δ καὶ ΔΜ ,δέδεικται δʼ ἡμῖν, ὅτι, οἵων ἐστὶν ἡ Λ Κ Μ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ, τοιούτων ἐστὶν ἡ μὲν Α Ε εὐθεῖα πη μ ιζ, ἡ δὲ Ε Δ τῶν αὐτων χμγ λς λθ, ἡ δὲ Α Δ ὅλη δηλονότι ψλβ ιϛ νς, γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ καὶ Δ Ε, τουτέστιν τὸ ὑπὸ Λ Δ καὶ Δ Μ, τῶν αὐτων M μζ ᾳτδ μς ιζ. πάλιν δέ, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Λ Δ Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ Κ Μ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Δ Κ τετράγωνον ,ἡ δὲ Κ Μ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ποιεῖ τὸ ἀπʼ αὐτῆς γχ, ἐὰν τὰ γχ προσθῶμεν ταῖς προκειμέναις Μ μζ ᾳτδ μς ιζ, ἕξομεν τὸ ἀπὸ Δ Κ τετράγωνον τῶν αὐτων Μ δϡδ μς ιζκαὶ μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΔΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων τοιούτων χπθ η, οἵων ἐστὶν ἡ ΚΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ἐξήκοντα. ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ ἐπικύκλου ἑξήκοντα, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιδ. καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ἔγγιστα λόγος τῷ διὰ τῶν παλαιοτέρων ἐκλείψεων μικρῷ πρόσθεν ἀποδεδειγμένῳ. ἤχθω δὴ πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀπὸ τοῦ Κ κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΕΑ ἡ ΚΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ. ἐπεὶ οὖν, οἵων ἡ ΔΚ ἐδείχθη χπθ η, τοιούτων ἦν καὶ ἡ μὲν ΔΕ εὐθεῖα χμγ λς λθ, ἡ δὲ ΝΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν μδ κ η, ὥστε καὶ ὅλην τὴν ΔΕΝ τῶν αὐτῶν χπζ νς μζ, καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΔΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ ΔΝ ἔσται ριθ μζ λς, ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ρογ ιζ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΔΚΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΝ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν ρογ ιζ, οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν πϛ λη U+2220΄. καὶ ἡ μὲν ΜΕΞ ἄρα τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πς λη λ, ἡ δὲ Λ Α Ξ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ??γ κα λ. τῶν δὲ αὐτῶν ἐστιν ἡ Α Ξ περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς Α Ε μοιρῶν μζ λη λ ἔγγιστα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Α Λ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν μὲ μγ. ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ Α Β ὅλη τῶν αὐτῶν ρι κα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Λ Β περιφέρεια, ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ ἀπογειοτάτου κατὰ τὸν ἐκκείμενον μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, μοιρῶν ἐστιν ξδ λη. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ Δ Κ Ν γωνία ἀπεδείχθη τοιούτων πς λη. ἔγγιστα, οἵων αἱ δ ὀρθαὶ τξ, ἡ δὲ ὑπὸ Κ Δ Ν γίνεται τῶν λοιπῶν εἰς τὴν μίαν ὀρθὴν γ κβ, ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὅλη τῶν αὐτῶν ζ μβ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Λ Δ Β γωνία, ἥτις ὑποτείνει τὴν ἀφαιρουμένην τῆς μέσης κατὰ μῆκος παρόδου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφέρειαν ἐκ τῆς παρὰ τὴν Λ Β γινομένης τοῦ ἐπικύκλου ἀνωμαλίας, μοιρῶν ἔσται δ κ. καὶ κατὰ μῆκος ἄρα μέσως ἐπεῖχεν ἡ σελήνη κατὰ τὸν μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως τοῦ Κριοῦ μοίρας κθ λ, ἐπειδήπερ ἀκριβῶς ἐπεῖχεν μοίρας κε ι, ὅσας καὶ ὁ ἥλιος τῶν Χηλῶν.