Η΄.

εʹ. Περὶ συνανατολῶν καὶ συμμεσουρανήσεων καὶ συγκαταδύσεων τῶν ἀπλανῶν. Τούτων δʼ οὕτως ἐχόντων οἱ μὲν τῶν ἀληθινῶν καὶ πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ἡλίου θεωρουμένων συνανατολῶν τε καὶ συμμεσουρανήσεων καὶ συγκαταδύσεων χρόνοι αὐτόθεν διὰ μόνων τῶν γραμμῶν ἀπὸ τῆς κατὰ τὸν ἀστερισμὸν αὐτῶν θέσεως ἡμῖν δύνανται λαμβάνεσθαι διὰ τὸ καὶ τὰ σημεῖα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων, οἷς ἕκαστος τῶν ἀπλανῶν συμμεσουρανεῖ τε καὶ συνανατέλλει καὶ συγκαταδύνει, δείκνυσθαι γραμμικῶς διὰ τῶν ὑποκειμένων θεωρημάτων. ἔστω γὰρ πρῶτον ἕνεκεν τῶν συμμεσουρανήσεων ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ περὶ πόλον τὸ Ζ, ζῳδιακοῦ δὲ τὸ ΒΕ∠ περὶ πόλον τὸ Η, καὶ Ζ διὰ τῶν πόλων τοῦ ζῳδιακοῦ γεγράφθω μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΗΘΚΛ, ἐφʼ οὗ τὸ Θ σημεῖον νοείσθω ὁ ἐπιζητούμενος ἀστὴρ τῶν ἀπλανῶν, ἐπεὶ πρὸς τοὺς οὕτως γραφομένους κύκλους αἱ θέσεις αὐτῶν ἔτυχον ὑφʼ ἡμῶν τηρήσεώς τε καὶ ἀναγραφῆς· γεγράφθω δὲ καὶ διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ κατὰ τὸ Θ ἀστέρος μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΖΘΜΝ. ὅτι μὲν τοίνυν ὁ κατὰ τὸ Θ ἀστὴρ τοῖς Μ καὶ Ν σημείοις τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ συμμεσουρανεῖ, φανερόν· ὅτι δὲ δίδοται ταῦτά τε καὶ ἡ ΘΝ περιφέρεια, διὰ τούτων ἔσται δῆλον· ἐπεὶ γὰρ διὰ τὰ ἐν τοῖς πρώτοις τῆς συντάξεως δεδειγμένα εἰς β μεγίστων κύκλων περιφερείας τήν τε ΑΗ καὶ τὴν ΑΝ διήχθησαν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι ἥ τε ΗΛ καὶ ἡ ΝΖ, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΖ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΘ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΝΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΝ. ἀλλὰ τῶν μὲν ΑΖ καὶ ΖΝ καὶ ΗΚ ἑκάστη αὐτόθεν ὑπόκειται τεταρτημορίου, δίδοται δὲ καὶ ἐκ μὲν τῆς ἀναγραφῆς τοῦ ἀστέρος ἥ τε ΚΘ τοῦ πλάτους καὶ ἡ ΚΒ τοῦ μήκους, ἐκ δὲ τῆς ἀποδεδειγμένης τοῦ διὰ μέσων ἐγκλίσεως ἥ τε ΖΗ καὶ ἡ ΚΛ· δῆλον ἄρα, ὅτι δεδομέναι μὲν ἔσονται τῶν ἐπιζητουμένων περιφερειῶν ἥ τε ΗΑ καὶ ἡ ΑΖ καὶ ἡ ΗΛ καὶ ἡ ΛΘ καὶ ἔτι ἡ ΝΖ, δοθήσεται δὲ διὰ ταῦτα καὶ λοιπὴ ἡ ΝΘ. πάλιν, ἐπεὶ καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΝ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΝΛ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΑ, δεδομέναι δέ εἰσιν τῶν ἐπιζητουμένων περιφερειῶν διὰ μὲν τῶν προκειμένων ἥ τε ΖΗ καὶ ἡ ΗΑ καὶ ἔτι ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ ΘΝ, διὰ δὲ τῶν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας συνανατολῶν τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀπὸ τῆς ΚΒ ἡ ΛΑ, καὶ λοιπὴ δοθήσεται ἡ ΝΛ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς ΝΑ ὅλης ἡ ΜΒ τοῦ ζῳδιακοῦ. καὶ τὰ συνανατέλλοντα δὲ ἢ συγκαταδύνοντα σημεῖα τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τοῖς ἀπλανέσι διὰ τῶν συμμεσουρανήσεων προχείρως λαμβάνεται τὸν τρόπον τοῦτον· ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ περὶ πόλον τὸ Ζ, ὁρίζοντος δὲ τὸ ΒΕ∠; ,ἀνατελλέτω δὲ ὁ ἀστὴρ κατὰ τὸ Η σημεῖον τοῦ ὁρίζοντος, καὶ διὰ τῶν Ζ, Η γεγράφθω μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν πάλιν εἰς δύο μεγίστων κύκλων περιφερείας τήν τε ΑΖ καὶ τὴν ΑΕ διήχθησαν ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ ΕΒ, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΕ . ἀλλὰ τῶν ἐπιζητουμένων περιφερειῶν ἑκάστη τῶν ΖΑ καὶ ΖΘ καὶ ΚΑ τεταρτημόριον περιέχει, δίδοται δὲ καὶ ἐκ μὲν τοῦ ἐξάρματος τῶν πόλων ἡ ΖΒ, διὰ δὲ τῶν συμμεσουρανήσεων τό τε Θ σημεῖον τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ ἡ ΘΗ περιφέρεια· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΕ δοθήσεται. εὐκατανόητον δέ, ὅτι καὶ ἐπὶ τῶν συγκαταδύσεων, ἐὰν εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ Θ ἴσην τῇ ΘΕ περιφέρειαν ἀπολάβωμεν, οἷον τὴν ΘΚ, τῷ Κ σημείῳ τοῦ ἰσημερινοῦ συγκαταδύσεται ὁ ἀστὴρ διὰ τὸ καὶ τότε τήν τε κατάδυσιν ἐπʼ ἴσης τῇ ΒΗ περιφερείας γίνεσθαι καὶ ἴσην γωνίαν εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ μεσημβρινοῦ πάλιν ἀπολαμβάνεσθαι τῇ κατὰ τοῦτο τὸ σχῆμα εἰς τὰ ἑπόμενα ὑπὸ τῶν ΑΖ καὶ ΖΘ περιεχομένῃ. καὶ αὐτόθεν δὲ ἀπὸ τῶν ἀποδεδειγμένων ἐφʼ ἑκάστου κλίματος συνανατολῶν τε καὶ συγκαταδύσεων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τό τε τῷ Ε σημείῳ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τῷ ἀστέρι συνανατέλλον μέρος τοῦ ζῳδιακοῦ δοθήσεται καὶ τὸ τῷ Κ καὶ τῷ ἀστέρι συγκαταδῦνον. καὶ δῆλον, ὅτι, ἐν οἷς χρόνοις κατʼ ἐκείνων τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ σημείων ὁ ἥλιος γίνεται ἀκριβῶς, ἐν τούτοις καὶ αἱ πρὸς τὸ κέντρον αὐτοῦ θεωρούμεναι τῶν ἀπλανῶν ἀνατολαὶ καὶ μεσουρανήσεις καὶ δύσεις, καλούμεναι δὲ ἀληθιναὶ συγκεντρώσεις, ἀποτελεσθήσονται.