4. Ad prop. 15. Ἄλλως τὸ αὐτό.

Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ πάλιν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία τὸ ἀφανές, καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν. ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΑ, χειμερινὸς δὲ ὁ Γ∠, ὁ ζῳδιακὸς δὲ κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΕΗ, ΖΘ· λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές. ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Θ, Ζ, Ε, σημεῖα παρἀλληλοι κύκλοι οἱ ΚΘΛ, Μ Ν Ξ Ζ, Ε Θ Π Ρ, Σ ΗΤ. καὶ μετακεκινήσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὅτε μὲν θέσιν ἐχέτω τὴν ΥΛΦ, ὅτε δὲ τὴν ΧΣΨ καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΘ, Ε περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἴσοι εἰσὶ καὶ οἱ ΜΝΣ, ΟΠΡ κύκλοι, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις· τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ ΜΝΞΖ κύκλου τὸ ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ ΟΕΡΠ κύκλου τῷ ΟΠΡ πάλιν ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΕΗ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ δύνει. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, τουτέστιν ἡ ΥΛ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Υ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνται, ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΕΗ δύνει, τουτέστιν ἡ ΧΣ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται· ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν δεελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται. κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΝΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρπαραγίγνεται· ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΥΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ Θ Ζ ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, ται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐνᾧ ἡ ΧΣ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ ΕΗ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.