Εὐτοκίου εἰς τὸ ᾱ τῶν Ἀρχιμήδους ἰσορροπικῶν.

Τὴν ῥοπήν, γενναιότατε Πέτρε, κοινὸν εἶναι γένος βαρύτητος καὶ κουφότητος Ἀριστοτέλης τε λέγει καὶ Πτολεμαῖος τούτῳ ἀκολουθῶν· ὁ δέ γε παρὰ Πλάτωνι Τίμαιος πᾶσαν ῥοπὴν ἀπὸ βαρύτητος λέχει γίνεσθαι· τὴν γὰρ κουφότητα στέρησιν νομίζει. Ὧν ἔξεστι τὰς δόξας τοῖς φιλομαθέσιν ἀναλέγεσθαι ἔκ τε τοῦ Περὶ ῥοπῶν βιβλίου τῷ Πτολεμαίῳ συγγεγραμμένου καὶ ἐκ τῶν Ἀριστοτέλους φυσικῶν πραγματειῶν καὶ ἐκ τοῦ Πλάτωνος Τιμαίου καὶ τῶν ταῦτα ὑπομνηματισάντων. Ὁ δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ κέντρον ῥοπῆς ἐπιπέδου σχήματος νομίζει, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι, δύο δὲ ἢ πλειόνων ἐπιπέδων κέντρον ῥοπῆς ἤτοι βάρους, ἀφʼ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς παράλληλός ἐστι τῷ ὁρίζοντι. Οἷον ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν τῷ μέσῳ αὐτοῦ σημεῖόν τι τὸ △,ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι· δῆλον οὖν ὅτι ἰσορροπήσει τὰ Β, Γ μέρη ἑαυτοῖς, καὶ οὐδέτερον τοῦ ἑτέρου μᾶλλον ῥέψει ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. Ὁμοίως δὲ καὶ ζυγοῦ ὄντος τοῦ ΑΒ καὶ ἀπηρτημένων ἐξ αὐτοῦ τῶν Α, Β μεγεθῶν, ἐὰν ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἀπὸ τοῦ Γ ἰσορροποῦντα ἔχῃ τὰ Α, Β μέρη, παράλληλος μένει τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔσται κέντρον τῆς ἀρτήσεως τῶν Α, Β μεγεθῶν τὸ Γ. Καλῶς δὲ δοκεῖ ὁ Γεμῖνος εἰπεῖν περὶ τοῦ Ἀρχιμήδους ὅτι τὰ ἀξιώματα αἰτήματα λέγει· τὰ γὰρ ἴσα βάρη ἀπὸ ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν ἀξίωμά ἐστι καὶ τὰ ἑξῆς, καὶ ἔστιν πάντα σαφῆ τοῖς μετρίως αὐτὰ ἐπισκεπτομένοις. Τῶν δὲ ἴσων καὶ ὁμοίων, φησίν, ἐπιπέδων σχημάτων ἐφαρμοζομένων ἐπ᾿ ἄλληλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ᾿ ἄλληλα πάντα γὰρ τὰ μέρη αὐτῶν πᾶσιν ἐφαρμόζει. Τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δέ, τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἔσται κείμενα. Νοείσθω δέ, ὡς ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς, τὰ ΑΒΓ, △ΕΖ τρίγωνα ἄνισα καὶ ὅμοια, κέντρον δὲ βάρους τοῦ μὲν ΑΒΓ τὸ Η, τοῦ δὲ △ΕΖ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, △Θ, ΘΕ, ΘΖ. Λέγω ὅτι εἰς ἴσα διαιροῦσιν τὰς γωνίας αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπιζευχθεῖσαι. Γινέσθω γὰρ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ καὶ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΛ καὶ ἡ △Θ πρὸς ΘΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΚ, ΚΛ, ΛΜ· ἔσται δὴ ὅμοιον τὸ ΚΛΜ τρίγωνον τῷ △ΕΖ τριγώνῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ, ἡ ΘΖ πρὸς ΘΛ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΚΛ· ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΜΚ τῇ △Ε καὶ ἡ ΛΜ τῇ △Ζ· ὅμοιον ἄρα τὸ △ΕΖ τρίγωνον τῷ ΚΛΜ τριγώνῳ. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΜΚ, ἡ ΕΖ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΜΛ. Ὑπόκειται δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ, △ΕΖ τριγώνων ὡς ἡ △Ε πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΑΓ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒΓ ταῖς ΜΚΛ· ὥστε ἐφαρμόζει ἑκάστη ἐπὶ ἑκάστην. Ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΚΜΛ τργώνῳ· ὥστε καὶ ἐφαρμόσει τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τοῦ ΜΚΛ. Τοῦ δὲ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐφαρμόζοντος καὶ τῶν Α, Β, Γ ἐπὶ τὰ Μ, Κ, Λ ἐφαρμόσουσιν καὶ αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ ἐπὶ τὰς ΜΘ, ΚΘ, ΛΘ καὶ ἴσας ποιήσουσιν γωνίας πρὸς τοῖς Μ, Κ, Λ ταῖς ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ἐν τῷ △ΕΖ· αἱ αὐταὶ γάρ εἰσιν εὐθεῖαι αἱ ἀπο τοῦ Θ ἐπί τε τὰ Μ, Κ, Λ καὶ ἐπὶ τὰ △,Ε, Ζ ἐπιζευγνύμεναι. Παντὸς σχήματος, οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶναι δεῖ τοῦ σχήματος |Τίνας καλεῖ τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας γραμμὰς εἴρηται ἡμῖν σαφῶς ἐν τοῖς προοιμίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου. Ἐπειδὴ δὲ τὸ σχῆμα τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἔχον τὴν περίμετρον πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἐντὸς ἔχει καὶ τὰς γωνίας, δῆλον ὅτι καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐντὸς ἔχει τοῦ σχήματος· ἐπὶ γάρ τινων σχημάτων τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτός ἐστι καὶ ἐπὶ τῆε περιμέτρου. Ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τοῦ σχήματός ἐστι τὸ Η, ἐπὶ δὲ τῆς △ΕΖ ὑπερβολῆς τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτὸς ἐστιν, καθ᾿ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, ὡς ἔχει τὸ Θ· εἴρηται γὰρ ταῦτα ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν. Ὅμως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ σχήματος καὶ ἐπὶ τοῦ △ΕΖ τὸ κέντρον τοῦ βάρους, ἀφ᾿ οὗ δηλονότι ἀρτώμενον τὸ σχῆμα παράλληλόν ἐστι τῷ ὁρίζοντι, ἐντός ἐστι τῆς περιμέτρου· εἰ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς περιμέτρου ἢ ἐκτός, ῥέψει ἐπὶ θάτερα· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.