Εὐτοκίου εἰς τὸ ᾱ τῶν Ἀρχιμήδους ἰσορροπικῶν.

Ἐὰν γὰρ ἐκβάλῃς τὰς Γ△Η, ΖΕΗ, ΒΑΗ, δῆλον ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἔρχονται |Ἐκβληθεισῶν γὰρ τῶν ΒΑΗ, ΖΕΗ καὶ συμπιπτουσῶν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Η καὶ ἡ Γ△ ἐκβαλλομένη ἐν τῷ αὐτῷ πεσεῖται· ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΖΓ πρὸς Ε△ καὶ δηλαδὴ ἡ ΓΗ πρὸς △Η. Ἔσται δὴ τοῦ μὲν Β△Γ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ, ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΒΘ τᾶς Β△ |Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν αἱ ΑΕ, ΒΖ, Γ△· κέντρον ἄρα ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Η. Καὶ φανερὸν ὅτι πάντα τὰ τρίγωνα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις, καὶ ὅτι αἱ ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν ἐπιζευγνύμεναι διὰ τοῦ Η ἔρχονται, ἵνα μὴ τοῦ αὐτοῦ πλείονα κέντρα ᾗ. Ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἱ Α△, △Β, ΒΕ, ΕΓ, ΓΖ, ΖΑ, ἴσα ἔσται καὶ τὰ τρίγωνα, ὧν κορυφὴ τὸ Η σημεῖον, βάσεις δὲ αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι· ὥστε διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τοῦ ΗΒΕ τριγώνου· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΕ. Ἐὰν οὖν διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΒΓ ἀγάγωμεν τὴν ΘΚ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΘ τῆς ΘΒ· ὥστε καθόλου, ἐὰν μία πλευρὰ τριγώνου τμηθῇ, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ μέρος διπλάσιον εἶναι τοῦ πρὸς τῇ βάσει, καὶ διὰ τοῦ ληφθέντος σημείου παράλληλος ἀχθῇ τῇ βάσει, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τριγώνου.