Chapter 4

Ἐπεὶ δ’ ἠνάγκασάν μέ τινες τῶν νεωτέρων δεηθέντες, ἣν ἐγὼ παίζων αὐτοὺς ἐδίδαξα μέθοδον εἰς εὕρεσιν τῶν ἐν ταῖς τοιαύταις ὑποθέσεσι τύπων, ἐν γράμμασι καταθέσθαι, δι’ ἐκείνους ἀνέθηκα καὶ τούτῳ τῷ λόγῳ μίαν ἡμέραν οὐχ ἑκών. ἀρξώμεθα οὖν ἤδη τῆς διδασκαλίας αὐτῶν ἐνθένδε. τύπον οὗτοι καλοῦσιν οὐχ ἅπασαν περίοδον, ἀλλ’ ἥτις ἂν ἐξ ὁλοκλήρων ἡμερῶν τε καὶ νυκτῶν συγκέηται, καὶ καθ’ ἕκαστόν γε πλῆθος ἡμερῶν ἴδιον εἶναι βούλονται τύπον, οὐδὲ κ΄ ἢ λ΄ μόνον ἡμερῶν, ἀλλὰ καὶ τούτων ἐξωτέρω τὰς τῶν τύπων περιόδους ἐκτείνοντες. ἐν δὲ τοῖς τύποις τούτοις ὁ τοῦ παροξυσμοῦ χρόνος ἐπὶ παροξυσμὸν οὐκέτι μὲν τύπος, αὐτὸ δὲ τοῦτο μόνον ὀνομάζεται αὐτοῖς περίοδος. ἐπυθόμην δή τινα καὶ βιβλίον ὅλον οὐ σμικρὸν γεγραφηκέναι διδάσκοντα, πῶς ἄν τις ἐφ’ ἑκάστῃ περιόδῳ παροξυντικῇ προβληθείσῃ τό τ’ εἶδος εὑρίσκοι καὶ τὸν ἀριθμὸν τῶν τύπων. καὶ νὴ τοὺς θεοὺς ἐθαύμασα, τίνα ποτ’ ἐστὶν ἃ λέγει κατὰ τὸ βιβλίον. ἡ γάρ τοι μέθοδος, ἐξ ὧν ἄν τις εὑρίσκοι τὸ πόσων ἐστὶ τύπων ἐπιπλοκὴ, δι’ ἐλαχίστων ἐπῶν διδαχθῆναι δύναται, τοιαύτη τις οὖσα. τὸν ἀριθμὸν τῶν ὡρῶν ἑκάστου τύπου πρόχειρον ἔχειν προσῆκεν ἤτοι διὰ μνήμης, ἢ γεγραμμένον ἐν χαρτίῳ, τοῦ μὲν ἀμφημερινοῦ τὸν τῶν κδ΄, τριταίου δὲ τὸν τῶν ὀκτὼ καὶ τετταράκοντα, καὶ οὕτως ἐφεξῆς, τεταρταίου μὲν οβ΄, πεμπταίου δὲ νστ΄, ἑκταίου ρκ΄, ἑβδομαίου δὲ ρμδ΄ καὶ τῶν ἄλλων, ὡς τοῦτο τὸ διάγραμμα τὸ ὑποτεταγμένον ἔχει. ΤΥΠΟΙ ΩΡΑΣ. ΤΥΠΟΙ ΩΡΑΣ. Ἀμφημερινός κδ΄ Τριταῖος μη΄ Τεταρταῖος οβ΄ Πεμπταῖος לστ΄ Ἑκταῖος ρκ΄ Ἑβδομαῖος ρμδ΄ Ὀγδοαῖος ρξη΄ Ἐνναταῖος ρלβ΄ Δεκαταῖος σιστ΄ Ἑνδεκαταῖος σμ΄ Δωδεκαταῖος σξδ΄ Τρισκαιδεκαταῖος σπη΄ Τεσσαρεσκαιδεκαταῖος τιβ΄ Πεντεκαιδεκαταῖος τλστ΄ Ἑκκαιδεκαταῖος τξ΄ Ἑπτακαιδεκαταῖος τπδ΄ Ὀκτωκαιδεκαταῖος υη΄ Ἐννεακαιδεκαταῖος υλβ΄ Εἰκοσταῖος υνστ΄ Εἰκοστὸς πρῶτος υπ΄ Εἰκοστὸς δεύτερος φδ΄ Εἰκοστὸς τρίτος φκη΄ Εἰκοστὸς τέταρτος φνβ΄ Εἰκοστὸς πέμπτος φοστ΄ Εἰκοστὸς ἕκτος χ΄ Εἰκοστὸς ἕβδομος χκδ΄ Εἰκοστὸς ὄγδοος χμη΄ Εἰκοστὸς ἔννατος χοβ΄ Τριακοστός χלστ΄ Τριακοστὸς πρῶτος ψκ΄ Τριακοστὸς δεύτερος ψμδ΄ Τριακοστὸς τρίτος ψξη΄ Τριακοστὸς τέταρτος ψלβ΄ Τριακοστὸς πέμπτος ωιστ΄ Τριακοστὸς ἕκτος ωμ΄ Τριακοστὸς ἕβδομος ωξδ΄ Τριακοστὸς ὄγδοος ωπη΄ Τριακοστὸς ἔννατος Ϡιβ΄ Τεσσαρακοστός Ϡλστ΄ Τεσσαρακοστὸς πρῶτος Ϡξ΄ Τεσσαρακοστὸς δεύτερος Ϡπδ΄ Τεσσαρακοστὸς τρίτος α͵η΄ Τεσσαρακοστὸς τέταρτος α͵λβ΄ Τεσσαρακοστὸς πέμπτος α͵νστ΄ Τεσσαρακοστὸς ἕκτος α͵π΄ Τεσσαρακοστὸς ἕβδομος α͵ρδ΄ Τεσσαρακοστὸς ὄγδοος α͵ρκη΄ Τεσσαρακοστὸς ἔννατος α͵ρνβ΄ Πεντηκοστός α͵ροστ΄ Ἀμφημερινός κδ΄ Τριταῖος μη΄ Τεταρταῖος οβ΄ Πεμπταῖος לστ΄ Ἑκταῖος ρκ΄ Ἑβδομαῖος ρμδ΄ Ὀγδοαῖος ρξη΄ Ἐνναταῖος ρלβ΄ Δεκαταῖος σιστ΄ Ἑνδεκαταῖος σμ΄ Δωδεκαταῖος σξδ΄ Τρισκαιδεκαταῖος σπη΄ Τεσσαρεσκαιδεκαταῖος τιβ΄ Πεντεκαιδεκαταῖος τλστ΄ Ἑκκαιδεκαταῖος τξ΄ Ἑπτακαιδεκαταῖος τπδ΄ Ὀκτωκαιδεκαταῖος υη΄ Ἐννεακαιδεκαταῖος υλβ΄ Εἰκοσταῖος υνστ΄ Εἰκοστὸς πρῶτος υπ΄ Εἰκοστὸς δεύτερος φδ΄ Εἰκοστὸς τρίτος φκη΄ Εἰκοστὸς τέταρτος φνβ΄ Εἰκοστὸς πέμπτος φοστ΄ Εἰκοστὸς ἕκτος χ΄ Εἰκοστὸς ἕβδομος χκδ΄ Εἰκοστὸς ὄγδοος χμη΄ Εἰκοστὸς ἔννατος χοβ΄ Τριακοστός χלστ΄ Τριακοστὸς πρῶτος ψκ΄ Τριακοστὸς δεύτερος ψμδ΄ Τριακοστὸς τρίτος ψξη΄ Τριακοστὸς τέταρτος ψלβ΄ Τριακοστὸς πέμπτος ωιστ΄ Τριακοστὸς ἕκτος ωμ΄ Τριακοστὸς ἕβδομος ωξδ΄ Τριακοστὸς ὄγδοος ωπη΄ Τριακοστὸς ἔννατος Ϡιβ΄ Τεσσαρακοστός Ϡλστ΄ Τεσσαρακοστὸς πρῶτος Ϡξ΄ Τεσσαρακοστὸς δεύτερος Ϡπδ΄ Τεσσαρακοστὸς τρίτος α͵η΄ Τεσσαρακοστὸς τέταρτος α͵λβ΄ Τεσσαρακοστὸς πέμπτος α͵νστ΄ Τεσσαρακοστὸς ἕκτος α͵π΄ Τεσσαρακοστὸς ἕβδομος α͵ρδ΄ Τεσσαρακοστὸς ὄγδοος α͵ρκη΄ Τεσσαρακοστὸς ἔννατος α͵ρνβ΄ Πεντηκοστός α͵ροστ΄ Τοιοῦτον ἐχέτωσαν ἐν χαρτίῳ διάγραμμα ἐσκευασμένον οἱ μὴ δυνάμενοι ῥᾳδίως λογίζεσθαι. μετὰ δὲ τὴν τούτου παρασκευὴν ἐπισκοπείσθωσαν ὁ προβληθεὶς παροξυσμὸς τῶν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περιοδικῶν ὡρῶν οὗ τινος τῶν πρῶτον γεγραμμένων ἀριθμῶν ἐστι μόριον. εὑρόντες γὰρ αὐτὸν ἕξουσι τὸ γένος τοῦ τύπου, γένος δὲ, ἢ εἶδος, ἢ ἰδέαν, ἢ φύσιν ἐν τῷ παρόντι λέγειν οὐ διοίσει, τὸν δὲ ἀριθμὸν, τῶν τύπων εὑρεθέντων, κατὰ τὸ μόριον. εἰ μὲν γὰρ τρίτον εἴη τὸ μόριον ὁ κατὰ τὴν περίοδον ἀριθμὸς τῶν ὡρῶν τοῦ τύπου, τρεῖς ἐρεῖς ἀλλήλοις ἐκείνους περιπεπλέχθαι τοὺς τύπους· εἰ δὲ τέταρτον, τέτταρας· εἰ δὲ πέμπτον, πέντε, παρώνυμον ἀεὶ τὸν ἀριθμὸν τοῦ μέρους ποιούμενος. ἵνα δὲ καὶ διὰ παραδείγματος εὑρεθῇ σαφεστέρα ἡ μέθοδος, ἔστω τινὰ παροξύνεσθαι μὲν ὥραις στ΄, ἐξανίεσθαι δὲ δυοῖν, ὥστε τὴν ὅλην περίοδον ὑπάρχειν ὡρῶν ὀκτώ· κατὰ ταύτην τὴν ὑπόθεσιν ἐπισκέψῃ, τί μέρος ἐστὶ τὰ η΄ τῶν κδ΄, εἶθ’ εὑρὼν ὅτι τρίτον, ἀμφημερινοὺς ἐρεῖς ἐπιπεπλέχθαι τρεῖς· ἀμφημερινοὺς μὲν, ὅτι τοῦ τῶν κδ΄ ἀριθμοῦ μόριόν ἐστιν ὁ τῶν ὀκτώ· τρεῖς δὲ, ὅτι τρίτον. ὑποκείσθω δὲ πάλιν ἑκκαίδεκα ὡρῶν εἶναι τὴν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περίοδον. ἐπεὶ τοίνυν τὰ δεκαὲξ τῶν κδ΄ οὐδέν ἐστι μόριον, τῶν τε μή τρίτον ἐστί· τὰ δὲ μη΄ τριταίης ἐστὶν ἀριθμὸς περιόδου· τριταίους ἐρεῖς πυρετοὺς τρεῖς ἀλλήλοις ἐπιπεπλέχθαι. ὑποκείσθω πάλιν ἡ τῶν παροξυσμῶν περίοδος ὡρῶν ὑπάρχειν ὀκτωκαίδεκα. μέρος δέ ἐστιν οὗτος οὔτε τῶν κατὰ τὸν ἀμφημερινὸν ὡρῶν ἀριθμοῦ, οὔτε τῶν κατὰ τὸν τριταῖον, ἀλλὰ τοῦ κατὰ τὸν τεταρταῖον, ὅς ἐστιν οβ΄. φήσεις οὖν ἐπιπεπλέχθαι τεταρταίους ἀλλήλοις τέτταρας· τεταρταίους μὲν, ὅτι ἐκ τοῦ τῶν οβ΄ ὡρῶν ἀριθμοῦ· τέτταρας δὲ, ὅτι τέταρτόν ἐστι μέρος ὁ τῶν ὀκτωκαίδεκα ὡρῶν ἀριθμὸς τοῦ τῶν οβ΄. ὑποκείσθω πάλιν ἡ τῶν παροξυσμῶν περίοδος ὡρῶν εἶναι ε΄. μέρος δέ εἰσιν αἱ ε΄ τῶν ρη΄ εἰκοστοτέταρτον· ἐρεῖς οὖν εἶναι τύπους ἑκταίους ἐπιπεπλεγμένους ἀλλήλοις κδ΄. ὑποκείσθω πάλιν ἡ τῶν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς ὡρῶν περίοδος ζ΄. μέρος δέ εἰσιν αὗται τῶν ρξη΄, τουτέστιν ὀγδοαίου τύπου, τὸ εἰκοστὸν τέταρτον. ἐρεῖς οὖν εἶναι τύπους ὀγδοαίους εἰκοσιτέτταρας. ὑποκείσθω πάλιν ἡ τῶν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περίοδος ὡρῶν θ΄. μέρος δέ εἰσιν αὗται τῶν σιστ΄ εἰκοστοτέταρτον. αὗται δὲ αἱ σιστ΄ περίοδός ἐστι δεκάτου τύπου. γενήσονται γοῦν ἐπὶ τῆς ὑποθέσεως ταύτης δεκαταῖοι τύποι τέτταρες καὶ εἴκοσιν. ὑποκείσθω πάλιν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περίοδος ὡρῶν δέκα. δωδέκατον δέ ἐστι μέρος ἀριθμὸς οὗτος τῶν ρκ΄, ὅστις ἐστιν ἑκταίας περιόδου, διὰ ταῦτα οὖν ἑκταῖοι γενήσονται δώδεκα. ὑποκείσθω πάλιν ἡ κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περίοδος ὡρῶν ὑπάρχειν ἕνδεκα, μετρεῖται δὲ ὁ τῶν σξδ΄ ἀριθμὸς ὑπὸ τῶν ἕνδεκα κατὰ τὸν κδ΄. ἔσονται οὖν κδ΄ ἀλλήλοις ἐπιπλεκόμενοι τύποι δωδεκαταῖοι, διότι κατὰ τὸν τῶν κδ΄ ἀριθμὸν ὁ τῶν ια΄ μετρεῖ τὸν τοῦ δωδεκαταίου τύπου τῶν ὡρῶν ἀριθμὸν, ὅστις ἐστιν ὁ τῶν σξδ΄. ἀεὶ τοίνυν εὑρεθήσεταί σοι τὸ μὲν εἶδος τῶν τύπων ἐκ τῶν ἐν τῷ διαγράμματι γεγραμμένων ἀριθμῶν· τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἐκ τοῦ γνῶναι πόστον ἐστὶ τὸ τοῦ ἀριθμοῦ μέρος ὁ τῶν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς ὡρῶν ἀριθμὸς, ὅπερ ταὐτόν ἐστι τῷ γνῶναι κατὰ τίνα τῶν ἀριθμῶν ὁ κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς μετρεῖ τὸν τοῦ τύπου· παρονομάζονται γὰρ ἀλλήλοις ὅ τ’ ἀριθμὸς οὗτος καὶ τὸ μόριον. οὐδὲν γοῦν διαφέρει τρίτον εἶναι μέρος φάναι τῶν ιβ΄ τὸν τῶν δ΄ ἀριθμὸν, ἢ μετρεῖσθαι πρὸς τοὺς τέσσαρας τὸν δώδεκα κατὰ τὸν τρία. ταὐτὸν δέ ἐστι τούτῳ κᾂν οὕτως εἴπωμεν, ὁ τέσσαρα τὸν δώδεκα μετρεῖ κατὰ τὸν τρία. γράψας οὖν πάλιν ἐν κεφαλαίοις βραχέσι τὴν μέθοδον, ἐφ’ ἕτερον ἐφεξῆς μεταβήσομαι λόγον. ἔσονται δ’ ὥσπέρ τινες αὐτῆς ἀφορισμοὶ τοιοίδε. ἐπισκέπτεσθαι χρὴ τῶν κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περιόδων τὰς ὥρας, πόστον μέρος εἰσὶ τῶν κατὰ τοὺς τύπους ὡρῶν. ὁ μὲν γὰρ τῷ μέρει παρονομαζόμενος ἀριθμὸς τὸ πλῆθος ἔσται τῶν τύπων· ὁ δ’ ὑπὸ τούτων μετρούμενος αὐτὸς ὁ τύπος. ἑτέρᾳ δὲ λέξει ταὐτὸν ἑρμηνευθήσεται οὕτως· τῆς κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς περιόδου τὸν ἀριθμὸν τῶν ὡρῶν ἐπισκέπτου, κατὰ τίνα μετρεῖ τῶν ἐκ τοῦ διαγράμματος ὁντιναοῦν. αὐτὸς μὲν γὰρ ὁ ἐκ τοῦ διαγράμματος ἀριθμὸς τὸ εἶδος τῶν τύπων δηλώσει· καθ’ ὃν δὲ τοῦτον ἐμέτρησεν ὁ τῆς περιόδου, τὸ πλῆθος αὐτῶν. ἄλλῃ δὲ λέξει ταὐτὸν οὕτως ἑρμηνευθήσεται. ὁ κατὰ τοὺς παροξυσμοὺς ἀριθμὸς τῶν περιοδικῶν ὡρῶν ὁσάκις ἂν μετρῇ τινα τῶν κατὰ τοὺς τύπους, τοσαυτάκις ὁ τύπος ἐκεῖνος ἑαυτῷ συμπλέκεται. συμπλέκεται δὲ ἢ ἐπιπλέκεται λέγειν οὐ διοίσει.