Chapter 7

Τούτων ἤδη γεγραμμένων, καί τισι τῶν ἑταίρων ἐκδιδομένων, ἢ ἀξιωσάντων ἑτέρων μαθεῖν, ὅπως ἂν ᾖ τοῦ διαγράμματος, ἐγὼ παραχρῆμα τοῖς προβάλλουσιν ἀποκρίνομαι τὸ πλῆθος τῶν τύπων. ἔστιν οὖν ἡ μέθοδος οὐχ ἑτέρου τινὸς γένους, ἀλλ’ ὑποπεπτωκυῖα τῇ προτέρᾳ. πεισθήσῃ δὲ καὶ αὐτὸς οὕτως ἔχειν ἀναμνησθεὶς πρότερον ἀεί τε πρόχειρον ἔχων τὴν μνήμην αὐτῶν, ὡς ἡμέραν ὀνομάζομεν ἐν τῷ χρόνῳ τούτῳ τὸν συγκείμενον χρόνον ἔκ τε τῆς ἡμέρας καὶ τῆς νυκτὸς, ὅπερ ἔνιοι προσαγορεύουσι νυχθήμερον. οὕτω γοῦν καὶ τὸν ἐνιαυτὸν εἶναι λέγομεν ἡμερῶν τξε΄ καὶ τετάρτου. μιᾶς μὲν οὖν ἡμέρας τέτταρες ἐπὶ ταῖς κ΄ ὧραι γίγνονται, δυοῖν δὲ ὀκτὼ καὶ τετταράκοντα, τριῶν δὲ δύο καὶ ἑβδομήκοντα· τὰ δὲ ὀνόματα τοῖς τύποις οὐκ ἀπὸ τῶν συμπληρουμένων ἡμερῶν ἐστιν, ἀλλ’ ἀπὸ τῆς ἀνταποδόσεως τοῦ παροξυσμοῦ. τριταῖον μὲν ὀνομάζομεν ᾧ διὰ τρίτης ἡμέρας ὁ παροξυσμὸς γίγνεται, δυοῖν μεταξὺ δηλονότι καὶ συμπληρωθεισῶν· τεταρταῖον δὲ ᾧ κατὰ τετάρτην, τριῶν κᾀπὶ τούτῳ μεταξὺ συμπληρουμένων ἡμερῶν, ἐπί τε τῶν ἄλλων ἀνάλογον· ὥσθ’ ὅταν εὕρῃς περίοδον τύπου τεττάρων ἡμερῶν, πεμπταῖον ἐρεῖς αὐτὸν, οὐ ταὐτὸν γάρ ἐστι διὰ πέμπτης τε παροξύνεσθαι καὶ πέντε ἡμερῶν ἔχειν περίοδον. ἐν μνήμῃ τοίνυν θέμενος ταῦτα, πάλιν ἀναμνήσθητί μοι τῆς εἰρημένης ἔμπροσθεν ἐπὶ τῷ διαγράμματι μεθόδου. λέλεκται δὲ ὅτι τὸν προβληθέντα περιοδικῶν ἀριθμὸν ὡρῶν, ὃς ἐν τῷ μεταξὺ δυοῖν ἀρχῶν γίνεται παροξυσμὸς, ἐπισκέπτου πότερον μετρεῖ τὸν ἐν τῷ διαγράμματι περιεχόμενον ἀριθμὸν ὁντιναοῦν. ἦσαν δ’ ἐκεῖνοι κατὰ πολλαπλασιασμὸν ὡρῶν εἰκοσιτεσσάρων γενόμενοι. ἵνα οὖν χωρὶς διαγράμματος αὐτὸς εὑρίσκῃς ἐπὶ δακτύλου τοῦτο, ταυτὶ πρᾶττε. τοῦ μὲν ἓξ καὶ ὀκτὼ προβληθέντος, εὐκαίρως ἂν εὕροις τέσσαρας μὲν ἀμφημερινοὺς γιγνομένους, ὅταν ἓξ ὡρῶν προβεβλημένη περίοδος ᾖ· τρεῖς δ’, ὅταν ὀκτώ. τοῦ δ’ ἑπτὰ προβληθέντος, ἤ τινος ἄλλου τῶν μὴ μετρούντων τὸν τῶν εἰκοσιτεσσάρων ὡρῶν ἀριθμὸν, ἐπισκέπτου πότερον ἔχει τι μέρος ὁ προβληθεὶς, ἢ οὐδὲν, ὅτι μὴ τὴν μονάδα. εἰ μὲν ἔχει τι παρὰ τὴν μονάδα μέρος ἄλλο, καθάπερ ὁ μὲν ἐννέα τὸ τρίτον, ὁ δὲ πεντεκαίδεκα τὸ τρίτον τε καὶ τὸ πέμπτον, ἐπισκέπτου ποῖον αὐτοῦ τῶν μερῶν κοινόν ἐστι πρὸς τὸν τῶν εἰκοσιτεσσάρων. εὐθέως γοῦν τρίτον μὲν ὁ τῶν εἰκοσιτεσσάρων ὡρῶν ἀριθμὸς ἔχει, πέμπτον δ’ οὐκ ἔχει, καθάπερ ὁ τῶν πεντεκαίδεκα. ἐὰν μὲν οὖν προβεβλημένη περίοδος ὡρῶν ἐννέα τύχῃ, τὸ τρίτον μὲν ταύτης λήψῃ, τὸ τρίτον δὲ καὶ τῶν κδ΄ τὰ ὀκτὼ, καὶ φήσεις ὀκτὼ τύπους εἶναι τρισὶν ἡμέραις περιγραφομένους. ἠξίουν δέ σε μεμνῆσθαι τοὺς τοιούτους τύπους τεταρταίους ὀνομάζεσθαι. εἰ δὲ ιε΄ ὡρῶν περίοδος εἴη, τῶν μὲν ιε΄ τὸ τρίτον λαβὼν, πένθ’ ἡμερῶν εἶναι τοὺς τύπους, ὅπερ ἐστιν ἑκταίους· τῶν δὲ κδ΄ ἐπειδὴ καὶ τούτων τὸ τρίτον ὀκτὼ γίγνεται, τοσούτους ἐρεῖς εἶναι καὶ τοὺς ἑκταίους τύπους· εἰ δὲ μηδὲν μόριον ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς ᾖ, οἷός πέρ ἐστιν ὁ ζ΄, κδ΄ ὀγδοαίους. οὕτω δὲ καὶ εἰ ἕνδεκα ὡρῶν ᾖ προβεβλημένη περίοδος, κδ΄ εἶναι τοὺς τύπους ἑνδεκαημέρους ἐρεῖς, ὅπερ ἐστι δωδεκαταίους. οὕτω δὲ καὶ εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ἡ περίοδος ᾖ, τέσσαρας ἐπὶ τοῖς εἴκοσι τεσσαρεσκαιδεκαταίους. ὡσαύτως δὲ κᾂν μείζων ᾖ προβεβλημένη περίοδος τῶν κδ΄ ὡρῶν, εἰ μὲν μηδὲν ἔχοι μέτρον κοινὸν πρὸς τὸν τῶν κδ΄, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τῶν ε΄ καὶ κ΄ συμβέβηκε, τέτταρας καὶ κ΄ ἐρεῖς εἶναι εἰκοστοεκταίους τύπους. (ὥσπέρ γε καὶ κ΄.) εἰ δ’ εἴη τι κοινὸν μέτρον ἀμφοῖν, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ζ΄ καὶ κ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν, ὀκτὼ φήσεις εἶναι δεκαταίους, ἐπειδὴ τῶν μὲν κ΄ καὶ δ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν η΄, τῶν δὲκζ΄, θ΄. δῆλον γὰρ ὅτι τοῦ δεκαταίου τύπου περίοδός ἐστιν ἡμερῶν ἐννέα συμπληρουμένων, αἵτινες ὡρῶν ἀριθμὸν ἐργάζονται ἑκκαίδεκα καὶ διακοσίων, οὗ μέρος ὄγδοόν ἐστιν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἰκοσιεπτὰ ὡρῶν. ὑποπέπτωκεν οὖν ἡ μέθοδος αὕτη τῇ κατὰ τὸ διάγραμμα κοινῇ προειρημένῃ, τοσοῦτον ἐκείνης διαλλάττουσα, τῷ δύνασθαι καὶ χωρὶς τοῦ διαγράμματος εὑρεῖν τινα πρῶτον ἀριθμὸν ὡρῶν ἡμερησίαις περιόδοις μετρούμενον, οὗ μέρος ὁ προβεβλημένος ἐστίν. τὸ δὲ θεώρημα τοῦτο δέδεικται καὶ πρὸς Εὐκλείδου κατὰ τὸ τῶν στοιχείων, ἕβδομον δὲ αὐτοῦ ἐστι κεφάλαιον. τὸ δὲ μεῖζον κοινὸν ἀμφοτέρων τῶν ἀριθμῶν χρὴ λαμβάνοντας σκέψασθαι ποσάκις ἑκάτερον μετρεῖ τὸν ἀριθμὸν τὸ κοινὸν τοῦτο μέτρον, οἷον ἐπὶ τοῦ πεντεκαίδεκα καὶ τοῦ τῶν εἰκοσιτεσσάρων πρῶτον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ τῶν τριῶν ἀριθμός· οὗτος δὲ τὸν ε΄ καὶ ι΄ μετρεῖ κατὰ τὸν ε΄, τὸν δὲ εἰκοσιτέσσαρα κατὰ τὸν ὀκτώ. ἐὰν οὖν τὸν ε΄ πολλαπλασιάσῃς ἐπὶ τὸν τῶν κδ΄, ἐάν τε τὸν η΄ ἐπὶ τῶν ιε΄, τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν εὑρήσεις γινόμενον, ὥσπερ ἑκατὸν καὶ εἴκοσιν ὡρῶν, ἡμερῶν δὲ δηλονότι ε΄. καὶ διὰ τοῦτο τὸν τύπον ἑκταῖον ἐρεῖς. κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον, εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἴη, κοινῇ μετρήσουσιν οὗτός τε καὶ ὁ τῶν κδ΄ τὸν ἐξ ἀμφοτέρων ἀλλήλων πολλαπλασίων γινόμενον, ὅσπερ ἐστιν ὁ τῶν τιβ΄. (ἐπειδὴ τῶν πρώτων καλουμένων ἀριθμῶν ἐστιν ὁ τρισκαίδεκα. προσαγορεύουσιν γὰρ οὕτως ὧν οὐκ ἔστι κοινὸν μέτρον πλὴν μονάδος.) ὁ μὲν οὖν ἀριθμὸς, ὅσον ἀμφότεροι μετροῦσιν, ἔσται τιβ΄. τρισκαιδεκάκις γὰρ οὗτος ἔχει τὰς κδ΄ ὥρας. ὁ δὲ τύπος ἡμερῶν ἔσται τελείων τριῶν καὶ ι΄, τουτέστι τεσσαρεσκαιδεκαταῖος· ἐπεὶ δὲ τετράκις τε καὶ εἰκοσάκις οὗτος μετρεῖ τὸν τῶν τιβ΄, τὸ πλῆθος τῶν τύπων ἔσται δ΄ ἐπὶ τοῖς κ΄. ἔχετε γοῦν ἤδη καὶ ταύτην ἀπόδειξιν τῆς μεθόδου, καίτοι γ’ οὐ βουληθέντος ἐμοῦ διδάσκειν ὑμᾶς ἄχρηστα πράγματα· κάλλιον γὰρ ἦν αὐτῶν ὅλως καταφρονεῖν μεμνημένους τοῦ Πυθικοῦ παραγγέλματος, ὡς φείδεσθαι προσήκει χρόνου.