ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Β

ιγ. Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρικῶν σχημάτων μεμετρημένων, ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους, ἀκολούθως τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν· τῆς γὰρ ἐντὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔσης, τουτέστι κενῆς, πάλιν ἔσται ἑκάστη αὐτῶν |δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή. ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν γένεσιν αὐτῆς. ἔστω γάρ τις ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο τυχόντα ἐπʼ αὐτῆς σημεῖα. εἰλήφθω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ μένοντος τοῦ Α σημείου περιφερέσθω κατὰ τὸ ἐπίπεδον ἡ ΑΒ, ἄχρι οὗ εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ συμπεριφερομένου καὶ τοῦ ΒΓ ∠Ε κύκλου ὀρθοῦ διαμένοντος πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ἀπογεννήσει ἄρα τινὰ ἐπιφάνειαν ἡ ΒΓ∠Ε περιφέρεια, ἣν δὴ σπειρικὴν καλοῦσιν· κἂν μὴ ᾖ δὲ ὅλος ὁ κύκλος, ἀλλὰ τμῆμα αὐτοῦ, πάλιν ἀπογεννήσει τὸ τοῦ κύκλου τμῆμα σπειρικῆς ἐπιφανείας τμῆμα, καθάπερ εἰσὶ καὶ αἱ ταῖς κίοσιν ὑποκείμεναι σπεῖραι· τριῶν γὰρ οὐσῶν ἐπιφανειῶν ἐν τῷ καλουμένῳ ἀναγραφεῖ, ὃν δή τινες καὶ ἐμβολέα καλοῦσιν, δύο μὲν κοίλων τῶν ἄκρων, μιᾶς δὲ μέσης καὶ κυρτῆς, ἅμα περιφερόμεναι αἱ τρεῖς ἀπογεννῶσι τὸ εἶδος τῆς τοῖς κίοσιν ὑποκειμένης σπείρας. δέον οὖν ἔστω τὴν ἀπογεννηθεῖσαν σπεῖραν ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου μετρῆσαι. δεδόσθω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ διάμετρος μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τῶν Α, Z τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ∠ΖΕ ΑΗΘ. καὶ διὰ τῶν ∠,Ε τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠ΗΕΘ. δέδεικται δὲ Διονυσοδώρῳ ἐν τῷ περὶ τῆς σπείρας ἐπιγραφομένῳ, ὅτι ὃν λόγον ἔχει ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρὸς τὸ ἥμισυ τοῦ ∠ΕΗΘ παραλληλογράμμου, τοῦτον ἔχει καὶ ἡ γεννηθεῖσα σπεῖρα ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ ἄξων μέν ἐστιν ὁ ΗΘ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ ἐστίν, ἡ ἄρα ΖΓ ἔσται |μονάδων ϛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων η· ἔσται ἄρα ἡ ΑΖ μονάδων ιδ, τουτέστιν ἡ ΕΘ, ἥτις ἐστὶν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ κύκλος· ἀλλὰ καὶ ὁ ἄξων δοθείς· ἔστιν γὰρ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Ε. ὥστε δοθεὶς καὶ ὁ εἰρημένος κύλινδρος· καὶ ἔστι τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθέν· ὥστε καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ἀλλὰ καὶ ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος· δοθεῖσα γὰρ ἡ ΓΒ διάμετρος. λόγος ἄρα τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθείς· ὥστε καὶ τῆς σπείρας πρὸς τὸν κύλινδρον λόγος ἔστι δοθείς. καὶ ἔστι δοθείς ὁ κύλινδρος· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· λοιπὰ η. καὶ πρόσθες τὰ κ· γίγνεται κη· καὶ μέτρησον κύλινδρον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων κη, τὸ δὲ ὕψος ιβ· καὶ γίγνεται τὸ στερεὸν αὐτοῦ ζτU+A7FCβ. καὶ μέτρησον κύκλον, οὗ διάμετρός ἐστι μονάδων ιβ· γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ, καθὼς ἐμάθομεν, ριγ ζʹ· καὶ λαβὲ τῶν κη τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιδ. ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῶν ιβ· γίγνεται πδ· καὶ πολλαπλασιάσας τὰ ζτU+A7FCβ ἐπὶ τὰ ριγ ζʹ· καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν πδ· γίγνεται θϠνϛ δ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως μετρῆσαι. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιδ, καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ ἄρα διάμετρός ἐστι μονάδων κη· ὥστε ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίγνεται μονάδων πη· ἁπλωθεῖσα ἄρα ἡ σπεῖρα καὶ γενομένη ὡς κύλινδρος ἕξει τὸ μῆκος μονάδων πη· καὶ ἔστιν ἡ διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν ἡ ΒΓ, μονάδων ιβ· ὥστε τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου, ὡς ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ζτU+A7FCβ. πάλιν θϠνς δ.