ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

ιε. Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ∠ δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ∠ γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν Β∠ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β∠ καὶ ἡ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ, Α∠ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ∠ τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΕ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε, Η. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· |ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ ∠Α μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ κάθετος δυνάμει 𝔮ϛU+2220έί, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ έ, ἡ δὲ Β∠ δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Γ∠ ἐστὶ μονάδων κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ πρὸς ρ, τὰ 𝔮ϛ δ πρὸς τί· ἔσται πρὸς κδέ· τοσούτου ἔσται τὸ ἀπὸ ΕΘ. καὶ πολλα πλασιάσαντες τὰ οβ έ ἐπὶ τὰ κδ έ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΕ ΕΘ προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ, ΕΘ, τουτέστι τοῖς οβ έ καὶ κδ έ συντεθεῖσιν. καὶ ἕξομεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ. καὶ σύνθες τὰ 𝔮ϛ U+2220 έ ί καὶ κδ έ· γίγνεται ρκα. καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ τὰ κδ έ· γίγνεται δυνάμει δτνϛ. μέρισον εἰς τὸν ρκα· γίγνεται λϛ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ· ἔστι δὲ ι· γίγνεται ιε· τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν ΕΘ δυνάμει κδέ, ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ, ἡ δὲ ΑΘ μήκει ια. ρκθ καὶ ρξ· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ λθ καὶ δ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ· γίγνεται ϛυ· ὧν πλευρὰ γίγνεται π· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται μ. ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ ὁμοίως μ· ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται· ἐὰν δὲ δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω, ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.