ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Γ

ιζ. |Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ, ὥστε τὰς ἐπι-φανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β. καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠. καὶ τετμήσθω ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, Ζ∠· καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Θ· καὶ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς Α πρὸς τὴν Β· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Θ πόλῳ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ τμήματος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ∠Ζ. οἱ δὲ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ Ζ∠ τετράγωνα πρὸς ἄλληλα· ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠, τουτέστιν ἡ Α πρὸς τὴν Β. αἱ ἄρα εἰρημέναι ἐπιφάνειαι λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας τὸν τῆς Α πρὸς τὴν Β ταῦτα γὰρ ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας Ἀρχιμήδει δέδεικται (c. 3 t. I p. 207 Heib.) .