ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Γ

ιθ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον τὸ ∠,ὥστε ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν τῶν ∠Α ∠Β |∠Γ τὰ ΑΒ∠ ∠ΒΓ ΓΑ∠ τρίγωνα ἴσα εἶναι. γεγονέτω· καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΕΒΓ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου. ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΕ ἐστὶ τριπλῆ. καὶ ἔστι ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΕ· καὶ δοθὲν τὸ Β· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· καὶ παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ε∠· θέσει ἄρα ἡ Ε∠. πάλιν δὲ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ζ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τριπλασία ἐστὶ τῆς ΖΑ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ Ζ∠· θέσει δὲ καὶ ἡ ∠Ε· δοθὲν ἄρα τὸ ∠. συντεθήσεται δὴ οὕτως. εἰλήφθω τῆς μὲν ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΒΕ, τῆς δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ε∠, τῇ δὲ ΑΒ ἡ Ζ∠. ἐπιζευχθεῖσαι οὖν αἱ ∠Α, ∠Β, ∠Γ ποιήσουσι τὰ ΑΒ∠, ∠ΒΓ, Γ∠Α τρίγωνα ἴσα. Αἱ μὲν οὖν τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων χωρίων διαιρέσεις αὐτάρκως εἴρηνται, ἑξῆς δὲ ἐπὶ τὰ στερεὰ χωρήσομεν. ὅσα μὲν οὖν ἰσοπαχῆ τυγχάνει στερεὰ, οἷον κύλινδροι καὶ παραλληλεπίπεδα καὶ ὅσα ἁπλῶς τὰς βάσεις ταῖς κορυφαῖς τὰς αὐτὰς ἔχει, εὐκόπως διαιρεῖται εἰς τοὺς δοθέντας λόγους. ὃν γὰρ ἔχει λόγον τὸ μῆκος, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ στερεὸν. τῶν δὲ μειούρων αἱ διαιρέσεις οὐχ οὕτως, οἷον πυραμίδων |καὶ κώνων καὶ τῶν τοιούτων· διὸ περὶ αὐτῶν γράψομεν.