ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

κη. Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ Β∠ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Β∠, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ Α∠ τῆς ∠Ε, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ. ὥστε |καὶ τὸ ὑπὸ Η∠Ε τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΗΚΒ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ Η∠, ΚΒ, τουτέστιν ἢ ∠Β πρὸς ΒΚ. ἡ ἄρα ∠Β τῆς ΒΚ μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ∠Β τῆς ∠Κ, τουτέστι τῆς ΕΖ, ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος.