ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Β

ζ. Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων τριγώνους ἔχον βάσεις. ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, παράλληλον δὲ τῷ ΑΒΓ τὸ ∠ΕΖ. ἐπίπεδα δὲ ἔστω τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΕΖ ΑΓ∠Ζ. καὶ δοθεῖσα ἑκάστη τῶν Α Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καὶ ἔτι ἡ ἀ|πὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΕΖ καὶ μείζων ἡ ΒΓ. αἱ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η. λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ Α∠ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται κατὰ τὸ Η. ὅτι μὲν οὖν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΓΖ συμπίπτει τῇ Α∠, φανερόν διὰ τὸ εἶναι τὴν μὲν ΑΒ μείζονα τῆς ∠Ε, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ∠Ζ. λέγω ὅτι κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ γὰρ Α∠ σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῶν ΑΒ ∠Ε ἐστὶν ἐπιπέδῳ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΓ ∠Ζ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α∠Η. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον καὶ ἐμβαλλέτω κατὰ τὸ Θ, τῷ δὲ ∠ΕΖ κατὰ τὸ Κ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘΖΚ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ. ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθεὶς· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΘ πρὸς ΗΚ δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ΘΚ πρὸς ΚΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἐπεὶ οὐν πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δέδοται ἥ τε βάσις καὶ ἡ ἀπὸ τῆ, κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἡ ΗΘ, δοθὲν ἄρα τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δοθέν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΓ∠Ε στερεὸν δοθέν ἐστι. συντεθήσεται δὴ οὕτως. δεῖ τὴν ΘΚ ποιῆσαι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΕΖ προστεθείσης τῆς ΚΗ τὴν ΘΗ πρὸς ΗΚ. καὶ εὑρόντα ἑκατέραν τῶν καθέτων τῶν ΗΘ ΗΚ καθʼ ἑαυτὰς μετρῆσαι ἑκατέραν πυραμίδα, ἧς τε βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον καὶ ἧς βάσις τὸ ∠ΕΖ, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, καὶ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν ἀποφαίνεσθαι ἴσην εἶναι τῷ ζητουμένῳ στερεῷ. |καὶ καθόλου δὲ πᾶσα πυραμὶς κόλουρος βάσιν ἔχουσα οἱανδήποτε ὡσαύτως μετρεῖται· ἐκ γὰρ τοῦ λόγου, οὗ ἔχει μία πλευρὰ τῆς βάσεως πρὸς τὴν ὁμόλογον ἐν τῇ κορυφῇ οὖσαν, λέγω δὲ τῇ ἐφέδρᾳ, εὑρεθήσεται ἡ κορυφὴ τῆς πυραμίδος, ἧς τμῆμά ἐστιν ἡ κόλουρος, καὶ ἡ κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς ἐφέδρας ἐπίπεδον. ἔχοντες οὖν καὶ τὴν ἐπὶ τὴν ἐφέδραν καὶ τὸ λοιπὸν ἕξομεν στερεὸν τῆς ἀποτεμνομένης πυραμίδος· ὥστε πάλιν τὴν ὅλην μετρήσαντες πυραμίδα ἀφελοῦμεν τὴν ἀποτεμνομένην καὶ τὸ λοιπὸν ἀποφανούμεθα στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος.