# Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή 12.1

Nicomachus of Gerasa, Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή, ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΔΕΥΤΓΡΟΝ.. Ancient Greek.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/greek/nicomachus-of-gerasa/text-2/12.1

ιβ. Καὶ περὶ μὲν τῆς τῶν πολυγώνων φύσεως Xl τῶν ἐπιπέδων ἱκανὰ ταῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰςαγωγῇ· ὅτι δὲ συμφωνοτάτη διδασκαλία ἡ περὶ αὐτῶν τῇ γραμμικῇ καὶ οὐκ ἀπᾴδουσα, δῆλον ἂν εἴη οὐ μόνον ἐκ τῆς σχηματογραφίας τῆς καθʼ ἕκαστον, ἀλλὰ κἀκεῖθεν· πᾶν τετράγωνον σχῆμα διαγωνίως διαιρεθὲν εἰς δύο τρίγωνα λύεται καὶ πᾶς τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τριγώνους συνεχεῖς λύεται καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγώνων συνεχῶν συνέστηκεν· οἷον τρίγωνοι μέν εἰσιν α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε καὶ οἱ ἑξῆς, τετράγωνοι δὲ α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ δύο δή, οὓς ἂν θέλῃς, τριγώνους συνεχεῖς ἀλλήλοις συνθεὶς πάντως τετράγωνον ποιήσεις καὶ ὁντινοῦν τετράγωνον ἄρα διαλύσας δυνήσῃ δύο ἀπʼ αὐτῶν τριγώνους ποιῆσαι· καὶ πάλιν παντὶ τετραγώνῳ σχήματι τρίγωνον προςζευχθὲν ὁθενοῦν πεντάγωνον ποιεῖ, οἷον τῷ δ τετραγώνῳ ὁ α τρίγωνος προςζευχθεὶς τὸν ε πεντάγωνον ποιεῖ καὶ τῷ θ τῷ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προςτεθείς, δηλονότι ὁ γ, πεντάγωνον τὸν ιβ ποιεῖ, τῷ δὲ ιϛ ὄντι ἀκολούθῳ ὁ Ϛ ἀκόλουθος ἐπισυντεθεὶς τὸν κβ ἀκόλουθον ἀποδίδωσιν καὶ τῷ κε ὁ ι τὸν λε καὶ ἀεὶ οὕτως. κατὰ δὲ τὰ αὐτὰ κἂν τοῖς πενταγώνοις οἱ τρίγωνοι προςτιθοῖντο τῇ αὐτῇ τάξει, τοὺς εὐτάκτους γεννήσουσιν ἑξαγώνους καὶ πάλιν ἐκείνοις οἱ αὐτοὶ προςπλεκόμενοι τοὺς ἐν τάξει ἑπταγώνους ποιήσουσι καὶ μετʼ ἐκείνους τοὺς ὀκταγώνους καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον. πρὸς δὲ ὑπόμνησιν ἐκκείσθωσαν ἡμῖν πολυγώνων στίχοι παραλλήλως γεγραμμένοι οἵδε, ὁ πρῶτος τρίγωνων, ὁ μετʼ αὐτὸν τετραγώνων, μετὰ δὲ ἀμφοτέρους πενταγώνων, εἶτα ἑξαγώνων, εἶτα ἑπταγώνων, εἶτα, εἰ ἐθέλοι τις, καὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων· μῆκος καὶ πλάτος τρίγωνοι α γ Ϛ ι ιε κα κη λϚ με νε τετράγωνο α δ θ ιϚ κε λϚ μθ ξδ πα ρ πεντάγωνοι α ε ιβ κβ λε να ο Ϟβ ριζ ρμε ἑξάγωνοι α Ϛ ιε κ με ξϚ Ϟα ρκ ρνγ ρϞ ἑπτάγωνοι α ζ ιη λδ νε πα ριβ ρμη ρπθ σλε βάθος ἔξεστι δὲ καὶ τῶν ἐφεξῆς πολυγώνων τὴν ἔκθεσιν ἐν παραλλήλοις οὕτω στίχοις ποιήσασθαι. καθολικῶς γὰρ εὑρήσεις τοὺς μὲν τετραγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς σύστημα ὄντας ὁμοταγῶν τριγώνων καὶ ἔτι τῶν ὑπερκειμένων ἐκείνοις ὁμογενῶν, οἷον τὸν δ τοῦ γ καὶ α, τὸν θ τοῦ Ϛ καὶ γ, τὸν ιϚ τοῦ ι καὶ Ϛ, τὸν κε τοῦ ιε καὶ ι, τὸν δὲ λϚ τοῦ κα καὶ ιε καὶ μέχρις ἀεὶ οὕτως· τοὺς δὲ πενταγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν τετραγώνων σύστημα ὄντας καὶ προςέτι τῶν πρωτογενῶν τριγώνων, ὅσοι εἰσὶ μονάδι ἔλαττον ὁμοταγεῖς, οἷον ὁ μὲν ε τοῦ δ καὶ α, ὁ δὲ ιβ τοῦ θ καὶ γ, ὁ δὲ κβ τοῦ ιϛ καὶ ϛ, ὁ δὲ λε τοῦ κε καὶ ι καὶ ἀεὶ οὕτως. πάλιν δὲ οἱ ἑξάγωνοι τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν πενταγώνων καὶ τῶν προεκτεθέντων τριγώνων ὁμοίως, οἷον ὁ Ϛ τοῦ ε καὶ α, ὁ ιε τοῦ ιβ καὶ γ, ὁ δὲ κη τοῦ κῆ καὶ Ϛ, ὁ δὲ με τοῦ λε καὶ ι καὶ μέχρις οὗ βούλει. τῶν δὲ ἑπταγώνων ὁ αὐτὸς τρόπος· ὁ μὲν γὰρ ζ σύστημα τοῦ Ϛ καὶ α, ὁ δὲ ιη τοῦ ιε καὶ γ, ὁ δὲ λδ τοῦ κη καὶ Ϛ καὶ οἱ ἑξῆς ἀκολούθως, ἵνα ἕκαστος πολύγωνος σύστημα τοῦ τε ὑπὲρ αὐτὸν ὁμοταγοῦς μονάδι ἐλάττονος ὁμογωνίου καὶ τοῦ ἀνωτάτου τριγώνου τοῦ ὁμοταγοῦς παῤ ἓν κειμένου. εἰκότως ἄρα στοιχεῖον πολυγώνων τὸ τρίγωνον καὶ ἐν γραμμαῖς καὶ ἐν ἀριθμοῖς· καὶ γὰρ καὶ κατὰ βάθος καὶ κατὰ πλάτος ἐν τῷ διαγράμματι εὑρίσκονται οἱ συνεχεῖς αἰεὶ ἀριθμοὶ κατὰ τοὺς στίχους αὐτούς ἔχοντες διαφορὰς τοὺς εὐτάκτους τριγώνους.

---

Nicomachus of Gerasa, Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή, ed. Richard Hoche. Text: The Greek Library, from the Perseus Digital Library and other open sources, CC BY-SA 4.0. Changes: apostrophes normalised and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/). Source: https://thegreeklibrary.pages.lisn.upsaclay.fr/works/tlg0358.tlg001.local001/.