ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΔΕΥΤΓΡΟΝ.

ιζ. Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται, οὐ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευρος μὲν καὶ τετραγώνιος γίνεται ἡ καταγραφή, οὐ μὴν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ πλευραὶ οὐδὲ τὸ μῆκος τῷ πλάτει ἶσον, ἀλλὰ παρὰ μονάδα, οἷον ὁ β, ὁ Ϛ, ὁ ιβ, ὁ κ, ὁ λ, ὁ μβ καὶ οἱ ἐξῆς· ἂν γὰρ αὐτούς ἐπιπέδως διαγράφῃ τις, πάντως οὕτω ποιήσει· ἅπαξ β β, δὶς γ Ϛ, τρὶς δ ιβ καὶ τοὺς ἐξῆς ἀναλόγως· τετράκις ε, πεντάκις ς, ἑξάκις ζ, ἑπτάκις η καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον, μόνον ἵνα μονάδι μείζων ἡ ἑτέρα πλευρὰ τῆς λοιπῆς ᾖ, ἄλλῳ δὲ μηδενὶ ἀριθμῷ· ἐὰν δὲ ἄλλως παρὰ τὴν μονάδα διαφέρωσιν ἀλλήλων αἱ πλευραὶ, οἷον δυάδι, τριάδι, τετράδι ἢ ἐφεξῆς, ὡς τὰ δὶς δ ἢ τρὶς Ϛ ἢ τετράκις η ἢ ὅπως ποτὲ οὖν ἑτέρως, οὐκέτι κυρίως ὁ τοιοῦτος ἑτερομήκης κληθήσεται, ἀλλὰ προμήκης· ἕτερον γὰρ καὶ ἑτερότητα οἱ παλαιοὶ οἱ περί τε Πυθαγόραν καὶ τούς ἐκείνου διαδόχους πυθμενικῶς ἐν τῇ δυάδιἐθεώρουν, ταυτὸν δὲ καὶ ταυτότητα ἐν τῇ μονάδι, ὡς ἐν δυσὶν ἀρχαῖς τῶν ὅλων· εὑρίσκονται δὲ αὗται μονάδι μόνον ἀλλήλων διαφέρουσαι, ὥςτε καὶ τὸ ἕτερον σπερματικῶς μονάδι ἕτερόν ἐστι καὶ οὐκ ἄλλῳ ἀριθμῷ· διόπερ καὶ συνήθως ἐπὶ δυοῖν, ἀλλʼ οὐκ ἐπὶ πλειόνων τὸ ἕτερον λέγεται παρὰ τοῖς ὀρθῶς διαλεγομένοις. ἀλλὰ μὴν καὶ μονάδι μὲν εἰδοποιεῖσθαι ἀπεδείχθη ὁ περισσὸς πᾶς ἀριθμός, δυάδι δὲ ὁ ἄρτιος πᾶς Ὅθεν εἰκότως τὸν μὲν περισσὸν τῆς ταυτοῦ φύσεως ἐροῦμεν μετέχειν, τὸν δὲ ἄρτιον τῆς θατέρου, καὶ γὰρ δὴ καὶ κατὰ σωρείαν ἑκατέρου ἀποτελοῦνται φύσει, ἀλλʼ οὐχ ἡμῶν θεμένων, τῇ μὲν τοῦ ἀπὸ μονάδος περισσοῦ ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τετραγώνων φύσις, τῇ δὲ τοῦ ἀπὸ δυάδος ἀρτίου ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τῶν ἑτερομηκῶν. πᾶσα ἄρα ἀνάγκη, τὸν μὲν τετράγωνον οἴεσθαι πάλιν τῆς ταυτοῦ φύσεως μετέχειν· τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον καὶ ὅμοιον καὶ ἀπαράλλακτον καὶ ἐν ἰσότητι κείμενον αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἀποδεικνύουσι πρὸς ἑαυτάς, τὸν δὲ ἑτερομήκη τῆς θατέρου· ὃν γὰρ μονὰς πρὸς δυάδα τρόπον παρήλλακται μονάδι μόνῃ διαφέρουσα, τοῦτον καὶ παντὸς ἑτερομήκους αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας διαλλάσσουσιν, ἡ ἑτέρα τῆς ἑρέρας μονάδι μόνον διαφέρουσα· οἷον ἐκκειμένου μοι τοῦ ἀπὸ μονάδος συνεχοῦς ἐξῆς ἀριθμοῦ ἐκλεξάμενος ἰδίᾳ μὲν τούς περισσούς τάσσω ἐν ἑνὶ στίχῳ, ἰδία δὲ τούς ἀρτίους ἐν ἑτέρῳ, καὶ γίνονταί μοι δύο στίχοι τοιοῦτοι· α, γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ, κα, κγ, κε, κζ· β, δ, Ϛ, η, ι, ιβ, ιδ, ιϚ, ιη, κ, κβ, κδ, κϚ, κη. ἀρχὴ μὲν οὖν τοῦ τῶν περισσῶν στίχου ἡ μονὰς ὁμογενής τε οὖσα καὶ τὴν τοῦ ταυτοῦ φύσιν ἔχουσα· διὸ οὔτε ἐὰν τε ἑαυτὴν πολυπλασιάσῃ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, ἑτεροιοῦται οὔτε ἄλλον ὁντιναοῦν ἐξίστησι τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἀλλὰ τηρεῖ αὐτὸν ἐν ταυτῷ· τὸ δὲ τοιοῦτον περὶ ἄλλον ἀριθμὸν εὑρεῖν ἀδύνατον. τοῦ δ᾿ ἄλλου στίχου ἄρχει ἡ δυὰς ὁμογενὴς αὐτῷ οῡσα καὶ ἑτερότητος καταρκτική· εἴτε γὰρ ἑαυτὴν εἴτε ἄλλον πολυπλασιάσειεν, ἔκστασιν ποιεῖ, οἷον δὶς β, θὶς γ. Ὅταν δὲ ᾖ ὀκτάκις η δὶς ἢ τρίς, τὰ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα πλινθίδες λέγονται ἰσάκις ἶσοι ἐλαττονάκις· ἐὰν δὲ καὶ μείζονα τὰ ὕψη τῷ τετραγώνῳ προςγένηται, δοκίδες οἱ τοιοῦτοι ἀριθμοὶ λέγονται, οἷον τρὶς γ ἑπτάκις ἢ ὀκτάκις ἢ ἐνάκις ἢ ὁσακιςοῦν μόνον ὑπερβαλλόντως· ἔστι δὲ δοκὶς ἀριθμὸς ἰσάκις ἶσος μειζονάκις· οἱ δέ γε σφηνίσκοι ἦσαν ἀνισάκις ἄνισοι ἀνισάκις καὶ οἱ κύβοι ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις. αὐτῶν δὲ τῶν κύβων ὅσοι πρὸς τῷ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις εἶναι ἔτι ἔχουσι καὶ τὸ αἰεὶ καταλήγειν κατὰ πᾶσαν πολυπλασίασιν εἰς τὸ αὐτό, ἀφ᾿ οὗπερ ἤρξαντο, σφαιρικοὶ καλοῦνται, οἱ δʼ αὐτοὶ καὶ ἀποκαταστατικοί, ὥςπερ ἀμέλει ὁ ἀπὸ τῆς ε πλευρᾶς καὶ ὁ ἀπὸ τῆς Ϛ· ὅσαις γὰρ ἂν αὐξήσεσιν αὐξήσω τούτων ἑκάτερον, εἰς τὸ αὐτὸ συμπέρασμα ἀεὶ τελευτήσει πάντως, ὁ μὲν ἀπὸ τοὺ Ϛ εἰς αὐτὸ τὸ Ϛ, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ε εἰς αὐτὸ τὸ ε· οἷον πεντάκις ε εἰς τὸ ε τελευτήσει καὶ τοῦτο πεντάκις καὶ εἰ δέοι πάλιν πεντάκις τοῦτο καὶ μέχρις ἀπείρου ἑτέρα τις τελευτὴ οὐχ εὑρεθήσεται, πλὴν εἰ μὴ ἡ ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ϛ τὸν αὐτὸν τρόπον ἡ Ϛ καὶ ἄλλη οὐδεμία· ὥςτε καὶ ἡ μονὰς δυνάμει σφαιρική ἐστι καὶ ἀποκαταστατική, τὸ γὰρ αὐτὸ πάσχει τοῦτο, ὡς εἰκός, πάθος τὸ περὶ τὰς σφαίρας καὶ τούς κύκλους· ἐκείνων γὰρ ἑκάτερον, ὅθεν ἄρχεται, ἐκεῖ καὶ τελευτὰ περικυκλούμενον καὶ περιστρεφόμενον. ὡς καὶ οἱ λεχθέντες οὗτοι ἀριθμοὶ μονώτατοι τῶν ἄλλων τῶν ἰσάκις ἴσων καταστρέφουσιν εἰς τὴν αὐτὴνἀρχήν, ὅθεν ἤρξαντο, κατὰ πάσας τὰς αὐξήσεις· ἀλλ᾿ ἄν μὲν ἐπιπέδως δυσὶ διαστήμασι προκόψωσι, κυκλικοὶ λέγονται, ὡς ὁ α, κε, λϚ ἐκ τοῦ ἅπαξ α καὶ τοῦ πεντάκις ε καὶ τοῦ ἑξάκις Ϛ· ἐὰν δὲ τρία διαστήματα ἔχωσιν ἢ ἐπὶ πλέον τούτων πολλαπλασιασθῶσι, σφαιρικοὶ στερεοὶ λέγονται, ὡς ὁ α, ρκε, σιϚ ἤ ἄλλως α, χκε, σσ̣?Ϛ.