ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΠΡΩΤΟΝ.

κγ. Πολλαπλασιεπιμερὴς δέ ἐστιν ἡ λοιπὴ σχέ- σις τοῦ ἀριθμοῦ· αὕτη τε καὶ ἡ σὺν τῇ ὑπο προθέσει ἀντονομαζομένη αὐτῇ ἔστιν, ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἀριθμὸν ὅλον τε ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ πλεονάκις ἢ ἅπαξ (τουτέστι δὶς ἢ τρὶς ἢ ὁσακιςοῦν) καὶ πρὸς τούτῳ μέρη τινὰ αὐτοῦ πλείονα ἑνὸς ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς. ταῦτα δὲ οὐκ ἔστι μὲν ἡμίση διὰ τὰ προλεχθέντα ἤτοι δὲ τρίτα ἢ τέταρτα ἢ πέμπτα καὶ κατὰ τὴν ὁμοίαν ἀκολουθίαν. οὐ χαλεπὸν δὲ ἐκ τῶν προφρασθέντων νοῆσαι καὶ τὰ τούτου εἴδη, ὡς ὁμοίως καὶ ἀπαραλλάκτως τοῖς πρὸ αὐτοῦ ποικίλλεται, διπλασιεπιδιμερής, εἶτα διπλασιεπιτριμερής, εἶτα διπλασιεπιτετραμερής, καὶ ἀνάλογον· οἷον ὁ μὲν η τοῦ γ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ ὁ ιϚ τοῦ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ καθόλου οἱ ἀπὸ ὀγδοάδος ὀγδοάδι διαφέροντες τῶν ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφερόντων, ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν εἰδῶν δύναιτʼ ἄν τις ἀκολουθῶν τοῖς προειρημένοις εὑρίσκειν τὴν εὐταξίαν· κἀνταῦθα δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει νοητέον προιοῦσαν καὶ συμμεταβαλλομένην τὴν τοῦ συγκρινομένου ἀντονομασίαν. Καὶ οὕτως αἱ δέκα ἀριθμητικαὶ σχέσεις πέρας ἡμῖν τῆς θεωρίας, ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰςαγωγῇ· ἔστι δέ τις γλαφυρωτέρα ἔφοδος καὶ ἀναγκαιοτάτη πρὸς πᾶσαν τὴν τῶν ὅλων φυσιολογίαν, ἥτις ἡμῖν σαφέστατα καὶ ἀναμφιλέκτως παρίστησιν, ὅτι πρῶτον μὲν τὸ καλὸν καὶ ὡρισμένον καὶ ὑπὸ ἐπιστήμην πῖπτον φύσει προγενέστερον τοῦ ἀορίστου καὶ ἀπεριλήπτου καὶ αἰσχροῦ, εἶτα ὅτι καὶ τὰ τοῦ ἀπείρου καὶ ἀορίστου μέρη καὶ εἴδη ὑπʼ ἐκείνου μορφοῦται καὶ περαίνεται καὶ τοῦ προςήκοντος κόσμου καὶ εὐταξίας τυγχάνει καὶ ὥςπερ ὑπὸ σφραγιστῆρός τινος ἢ μέτρου πάντα τὰ ἐμπίπτοντα μεταλαμβάνει τῆς ὁμοιότητος καὶ ὁμωνυμίας· οὕτω γὰρ εὐλόγως καὶ τὸ τῆς ψυχῆς λογικὸν τοῦ ἀλόγου κοσμητικὸν ἔσται καὶ ὁ θυμὸς καὶ ἡ ἐπιθυμία ἐν τοῖς τῆς ἀνισότητος δυσὶν εἴδεσι τεταγμένα ὑπὸ τοῦ διανοητικοῦ εὐτακτηθήσονται ὡς ὑπό τινος ἰσότητος καὶ ταυτότητος. ἐκ δὲ τῆς ἀπισώσεως ταύτης ὀρθῶς ἡμῖν ἀποβήσονται αἱ λεγόμεναι ἠθικαὶ ἀρεταί, σωφροσύνη, ἀνδρεία, πρᾳότης, ἐγκράτεια, καρτερία καὶ αἱ ὅμοιαι. Φέρε οὖν ἐπισκεψώμεθα, ποταπὸν τὸ εἰς τὰ φυσικὰ ταῦτα συντεῖνον θεώρημα· ἔστι δὲ ἀποδεικτικὸν τοῦ ἀπ᾿ ἰσότητος μονωτάτης καὶ πρωτίστης οἷον μητρός τινος καὶ ῥίζης γεννᾶσθαι πάντα τὰ τῆς ἀνισότητος ποικίλα εἴδη καὶ εἰδῶν διαφοράς. προκείσθωσαν γὰρ ἡμῖν ἐν τρισὶν ὅροις ἶσοί τινες ἀριθμοί, πρῶτον μὲν μονάδες, εἶτα δυάδες ἐν ἄλλοις τρισίν, εἶτα τριάδες, καὶ· ἑξῆς τετράδες, ἔπειτα πεντάδες, καὶ τοῦτο μέχρις οὗ βούλει· οὕτω γὰρ τῆς τούτων ἐκθέσεως θείῳ τινὶ καὶ οὐκ ἀνθρωπίνῳ λόγῳ, ἀλλʼ ἀπὸ φύσεως αὐτῆς γεγονυίας πρῶτοι μὲν γενήσονται πολλαπλάσιοι, καὶ τούτων αὐτῶν ἡγήσεται μὲν διπλάσιος, μετʼ αὐτὸν δὲ τριπλάσιος, ἐπὶ δὲ τούτῳ τετραπλάσιος, εἶτα πενταπλάσιος, καὶ κατὰ τὴν προεπιγνωσθεῖσαν ἡμῖν τάξιν ἐπʼ ἄπειρον· δεύτερος δὲ ἐπιμόριος, καὶ τούτου πάλιν ἡγήσεται τὸ πρώτιστον εἶδος ἡμιόλιος, ἐπὶ τούτῳ δὲ τὸ μετʼ αὐτὸ ἐπίτριτος, ἐπὶ δὲ τούτοις ὁ τάξει ἑξῆς ἐπτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ ἀνάλογον ἐπʼ ἄπειρον· τρίτον δὲ τὸ ἐπιμερές, καὶ πάλιν αὐτοῦ τούτου ἐπιδιμερὲς μὲν ἡγήσεται, ἕπεται δʼ εὐθὺς ἐπὶ τούτῳ τὸ ἐπιτριμερές, εἶτα τὸ ἐπιτετραμερές, καὶ εὐθὺς τὸ ἐπιπενταμερές, καὶ μέχρις ἂν προχωρῇ τις ἀκολούθως τοῖς ἔμπροσθεν. προςτάγματα οὖν τινα δεῖ ἔχειν οἷον νόμους φυσικοὺς ἀπαρεγκλίτους καὶ ἀπαραβάτους, οἷς πᾶσα ἡ προλεχθεῖσα πρόβασις καὶ προχώρησις ἀπὸ τῆς ἰσότητος εὐοδώσει μὴ λειποτακτουμένη· τὰ δὲ προςτάγματα ταῦτά ἐστι, πρῶτον πρώτῳ ἶσον ποιῆσαι, δεύτερον δὲ πρώτῳ ἅμα καὶ δευτέρῳ, τρίτον δὲ πρώτῳ καὶ δυσὶ δευτέροις ἅμα καὶ τρίτῳ· γένοιτο γὰρ μετὰ τούτων τῶν νόμων πλάσσοντί σοι εὐθὺς μὲν τὰ τοῦ πολλαπλασίου ἅπαντα εἴδη τάξει ἐκ τῶν τῆς ἰσότητος τριῶν ἐκκειμένων ὅρων οἷον βλαστάνοντα καὶ ἐκφυόμενα, σοῦ μηδὲν ἐπιτηδεύοντος μηδὲ συλλαμβάνοντος· καὶ ἐκ μὲν ἰσότητος εὐθὺς τὸ διπλάσιον, ἐκ δὲ διπλασίου εὐθὺς τὸ τριπλάσιον, ἐκ δὲ τριπλασίου ἑξῆς τὸ τετραπλάσιον καὶ ἐκ τούτου τὸ πενταπλάσιον εὐτάκτως καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί. ἐκ δὲ αὐτῶν τούτων τῶν εὐτάκτως πολλαπλασίων ἀναστραφέντων εὐθὺς γεννῶνται φύσει τινὶ ἀναγκαίᾳ διὰ τῶν αὐτῶν τριῶν προςταγμάτων οἱ ἐπιμόριοι, καὶ οὗτοι οὐχ ὡς ἔτυχεν οὐδὲ ἀτάκτως, ἀλλὰ τῇ προςηκούσῃ ἀκολουθίᾳ· ἐκ μὲν τοῦ πρώτου διπλασίου ἀναστραφέντος ὁ πρῶτος ἡμιόλιος, ἐκ δὲ τοῦ δευτέρου τριπλασίου ὁ ἐν ἐκείνοις δεύτερος ἐπίτριτος, εἶτα ἐπιτέταρτος ἐκ τετραπλασίου, καὶ ἀπλῶς ἕκαστος ἀπʼ ἐκείνου, ᾧ παρώνυμός ἐστιν. ἀπὸ δὲ ἄλλης ἀρχῆς αὐτῶν τῶν ἐπιμορίων ἐκκειμένων, ὥςπερ καὶ ἀνεφύησαν, ἀναστρόφως μέντοι, γεννῶνται οἱ φύσει μετʼ αὐτοὺς ἐπιμερεῖς· ἀπὸ μὲν τοῦ ἡμιολίου ἐπιδιμερής, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐπιτρίτου ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς ἐκ τοῦ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπʼ ἄπειρον τῇ αὐτῇ ἀναλογίᾳ. μὴ ἀναστρεφομένων δέ, ἀλλʼ ὀρθῶς ἐκκειμένων τῶν εὐτάκτων ἐπιμορίων γεννῶνται διὰ τῶν αὐτῶν προςταγμάτων οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι· διπλασιεφήμισυς μὲν ἐκ τοῦ πρώτου ἡμιολίου, διπλασιεπίτριτος δὲ ἐκ τοῦ δευτέρου ἐπιτρίτοu, διπλασιεπιτέταρτος δὲ ἐκ τοῦ τρίτου ἐπιτετάρτου, καὶ ἀεὶ οὕτως. ἐκ δὲ τῶν ἐξ ἀναστροφῆς τῶν ἐπιμορίων γεννηθέντων, τουτέστι τῶν ἐπιμερῶν, καὶ τῶν μὴ ἐξ ἀναστροφῆς, τουτέστι πολλαπλασιεπιμορίων, πάλιν τῷ αὐτῷ τρόπῳ διὰ τῶν αὐτῶν προςταγμάτων ἀπογεννῶνται ὀρθῶς τε κειμένων καὶ ἀναστρεφομένων οἱ τὰς λοιπὰς σχέσεις ἐμφαίνοντες ἀριθμοί. πάντων δὲ τῶν προειρημένων, γενέσεώς τε αὐτῶν καὶ τάξεως, ὀρθότητός τε καὶ ἀναστροφῆς ὑποδείγματα ἀρκείτω ἡμῖν πρὸς ὑπόμνησιν τὰ τοσαῦτα. ἐκ μὲν τῆς ἐν ἡμιολίοις σχέσεως καὶ ἀναλογίας ἀνεστραμμένης ἐκ τοῦ μείζονος ὅρου συνίσταται σχέσις ἐν ἐπιμερέσι λόγοις ἐπιδίτριτος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος κειμένης ὀρθῶς πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεφήμισυς, ὡς ἀπὸ τοῦ θ, ϛ, δ ἤτοι θ, ιε, κε ἢ δ, ι, κε· ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἐπιμερὴς ἤτοι τριςεπιτέταρτος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάσσονος διπλασιεπίτριτος, ὡς ἐκ τοῦ ιϚ, ιβ, θ ἤτοι ιϚ, κη, μθ ἢ θ, κα, μθ· ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ ὑπερέχοντος ἐπιμερὴς ἤτοι τετρακιςεπίπεμπτος, ἐκ δὲ τοῦ ἐλάττονος πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεπιτέταρτος, ὡς ἐκ τοῦ κε, κ, ιϚ ἤτοι κε, μδ, πα ἢ ιϚ, λϚ, πα. ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν διαζευχθεισῶν καὶ ἀφʼ ἧς ἀμφότεραι, ὁ μὲν ἔσχατος τετράγωνος ὁ αὐτὸς μένει, ὁ δὲ πρῶτος εἰς τὸν ἐλάττονα μεταβαίνει, πάντως δὲ οἱ ἄκροι τετράγωνοι. ἀλλὰ μὴν καὶ ἑτέρως ἐκ τῶν ἐπιμερῶν οἱ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἑτερογενεῖς ἐπιμερεῖς ἀναφαίνονται, οἷον ἐκ μὲν τῆς διςεπιτρίτου ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἡ διπλασία καὶ διςεπίτριτος· ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τριςεπίπεμπτος, ὡς ἐκ τοῦ θ, ιε, κε ἤτοι θ, κδ, ξδ ἢ κε, μ, ξδ· ἐκ δὲ τῆς τριςεπιτετάρτου ἐκ μὲν τοῦ μικροτέρου ἡ διπλασία καὶ τριςεπιτέταρτος, ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τετρακιςεφέβδομος, ὡς ἐπὶ τοῦ ιϚ, κη, μθ ἤτοι ιϚ, μδ, ρκα ἢ μθ, οζ, ρκα. πάλιν δὲ ἐκ τῆς τετράκιςἐπιπέμπτου, οἷον τῆς κε, μδ, πσ, ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάσσονος ἡ διπλασία καὶ τετρακιςεπίπεμπτος ἐν τοῖς, κε, ο, ρϞϚ, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος πάλιν ἐπιμερὴς ᾔ πεντακιςεπένατος ὡς ἐν τοῖς πα, ρκϚ, ρϞϚ, καὶ κατὰ τὰ ἐξῆς ἐπʼ ἄπειρον ἀνάλογα καὶ εὐάρμοστα εὑρήσεις. 1. (§. 8): ὅρα, πῶς ἐκ τῆς ἰσότητος ἀπογεννῶνται τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη· α α α διπλ. α β δ τριπλ. α γ θ τετραπλ. α δ ιϚ πενταπλ. α ε κε ἑξαπλ. α Ϛ λϚ ἑπταπλ. α ζ μθ ὀκταπλ. α η ξδ ἐναπλ. α θ πα δεκαπλ. α ι ρ 2. (§. 9): ὅρα, πῶς οἱ ἡμιόλιοι ἀπὸ τῶν διπλασίων ἀναστραφέντων· διπλάσιοι ἀναστραφέντες δ β α δ ϛ θ· ὅρα, πῶς οἱ ἐπίτριτοι ἀπὸ τῶν τριπλασίων, ἀναστραφέντων καὶ τούτων· τριπλάσιοι ἀναστραφέντες θ γ α ἐπίτριτοι θ ιβ ιϛ· ὅρα, πῶς καὶ οἱ ἐπιτέταρτοι ἀπὸ τῶν τετραπλασίων ἀναστραφέντων· τετραπλάσιοι ιϚ δ α ἐπιτέταρτοι ιϚ κ κε· πῶς καὶ ἐκ τῶν πενταπλασίων οἱ ἐπέπεμιπτοι· κε ε α κε λ λϚ· πῶς ἐκ τῶν ἑξαπλασίων οἱ ἔφεκτοι· λϚ Ϛ α λϚ μβ μθ· πῶς ἐκ τῶν ἑπταπλασίων οἱ ἐφέβδομοι· μθ ζ α μθ νϛ ξδ· καὶ ἐκ τῶν ὀκταπλασίων οἱ ἐπόγδοοι· ξδ η α ξδ οβ πα· καὶ ἐκ τῶν ἐναπλασίωον οἱ ἐπένατοι· πα θ α πα Ϟ ρ· καὶ ἐκ τῶν δεκαπλασίων οἱ ἐπιδέκατοι· ρ ι α ρ ρι ρκα. 3. (§. 10): ὅρα, πῶς ἀναστρόφως ἐκκείμενοι οἱ ἐπιμόριοι ἀπεγέννησαν τοὺς ἐπιμερεῖς· τὰ εἴδη τοῦ ἐπιμορίου· ἡμιόλιοι ἀναστραφέντες ἐπίτριτοι ἐπιτέταρτοι θ ϛ δ ιϛ ιβ θ κε κ ιϚ ἐπιδιμερεῖς ἐπιτριμερεῖς ἐπιτετραμερεῖς θ ιε κε ιϚ κη μθ κε με πα ἐπίπεμπτοι ἔφεκτοι ἐφέβδομοι λϚ λ κε μθ με λϛ ξδ νϚ μθ ἐπιπενταμερεῖς ἐφεξαμερεῖς ἐφεπταμερείς ξϚ ρκα μθ Ϟα ρξθ ξδ ρκ σκε ἐπόγδοοι ἐπένατοι ἐπιδέκατοι πα οβ ξδ ρ Ϟ πα ρκα ρι ρ ἐποκταμερεῖς ἐπεναμερεῖς ἐπιδεκαμερεῖς πα ρνγ σπθ ρ ρϞ τξα ρκα σλα υμα (in exemplis tribus extremis cod. G articulum adponit: οἱ ἐπόγδ. cet.) Τέλος P. Τέλος τοῦ πρώτου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς εἰς δύο τοῦ Γερασυνοῦ μ. Τέλος τοῦ πρώτου βιβλίου ΗΓ