ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΔΕΥΤΓΡΟΝ.

κδ. δὲ ἐπὶ ταύτῃ συνεχὴς γεωμετρικὴ μεσότης κυρίως ἀναλογία μόνη καλουμένη διὰ τὸ ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον θεωρεῖσθαι πρὸς ἀλλήλους τούς ἐν αὐτῇ ὅρους· ἔστι δέ, ὅταν τριῶν ὅρων ἢ πλειόνων ὡς ἔχει ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, οὕτως αὐτὸς πρὸς τὸν ὑποβεβηκότα ἔχῃ, ἐὰν δὲ πλείονες ὅροι εἶεν, καὶ αὐτὸς πάλιν πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, ποσότητι μέντοι μὴ τῇ αὐτῇ διαφέρωσιν ἀλλήλων, ἀλλὰ λόγου ποιότητι τῇ αὐτῇ, ἐναντίως ἢ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ὤφθη. οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐκκείσθωσαν οἱ ἀπὸ μονάδος κατὰ διπλάσιον λόγον προχωροῦντες α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον, ἢ κατὰ τριπλασίονα α, γ, θ, κζ, πα, σμγ καὶ ἐφεξῆς ἢ κατὰ τετραπλάσιον ἢ παραπλησίως τοῖς ἐκτεθεῖσιν· ἐν ἑκάστῳ γὰρ τούτων τῶν στίχων τρεῖς παράλληλοι ἢ τέσσσαρες ἢ ὁσοιοῦν ληφθέντες τὴν γεωμετρικὴν πρὸς ἀλλήλους ἀποδώσουσιν ἀναλογίαν· ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, οὕτως κἀκεῖνος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν καὶ πάλιν ἐκεῖνος πρὸς τὸν ἔτι ὑπ᾿ αὐτὸν καὶ τοῦτο μέχρι θέλει τις, καὶ ἀναμίξ· οἷον β, δ, η· ὄν γὰρ λόγον ἔχει ὁ η πρὸς τὸν δ, τοῦτον καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β καὶ ἀνάπαλιν, οὐ μὴν ἴσην ποσότητα μεταξὺ ἀλλήλων ἔχουσιν· ἢ πάλιν β, δ, η, ιϚ· οὐ γὰρ μόνον ὁ ιϛ πρὸς τὸν η τὸν αὐτὸν τοῖς πρόσθεν λόγον ἔχει, εἰ καὶ μὴ διαφοράν, ἀλλὰ καὶ ἀναμὶξ διασώζει τὴν ὁμοίαν σχέσιν, ὡς ὁ ιϚ πρὸς τὸν δ, οὕτως καὶ ὁ η πρὸς τὸν β, καὶ ἔμπαλιν ὡς ὁ β πρὸς τὸν η, οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν ιϛ, καὶ διεζευγμένως ὡς ὁ β πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ η πρὸς τὸν ιϛ, ἀναστρόφως τε καὶ κατὰ τὸ διεζευγμένον ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β· ἔχει γ`ρ τὸν διπλασίονα λόγον. Ἴδιον δὲ ἔχει ἡ γεωμετρικὴ μεσότης, ὃ μηδεμία τῶν λοιπῶν, τὸ τὰς τῶν ὅρων διαφορὰς ἐν λόγῳ πρὸς ἀλλήλας τῷ αὐτῷ εἶναι, ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι πρὸς τούς συνεχεῖς οἱ μείζονες πρὸς τούς ἐλάττονας, καὶ τὰς ἀνάπαλιν ὡς οἱ ἀνάπαλιν· ἔτι καὶ ἕτερον ἰδίωμα τὸ τούς μείζονας ὅρους διαφορὰν ἔχειν πρὸς τούς ἐλάττονας αὐτούς τούς ἐλάττονας καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ διαφορὰν πρὸς διαφορὰν αὐτῇ τῇ ἐλάττονι διαφέρειν ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐκτιθεμένων τῶν ὄρων, ἐν δὲ τριπλασίῳ διαφορὰν ἕξουσι δὶς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν οἱ ὅροι καὶ αἱ διαφοραί, ἐν δὲ τετραπλασίῳ τρὶς καὶ ἐν πενταπλασίῳ τετράκις καὶ τοῦτο μέχρι παντός. οὐ μόνον δὲ ἐν πολλαπλασίοις ἀναλογίαι γίνονται γεωμετρικαί, ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιμορίοις εἴδεσιν ἅπασι καὶ ἐπιμερέσι καὶ μικτοῖς, καὶ τὸ ἐξαίρετον ἰδίωμα τῆς μεσότητος ταύτης ἐπὶ πασῶν σώζεται, τῶν μὲν συνημμένων τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, τῶν δὲ ἐν διαζεύξει ἢ καὶ ἐν πλείοσιν ὅροις, κἂν μὴ συνημμένοι ὦσιν, ἀρτιοταγεῖς δέ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. Παράδειγμα δὲ τοῦ ἐν πάσαις ταῖς σχέσεσι πολυπλασίαις τε παντοίαις καὶ ἐπιμορίοις παντοίαις καὶ ἐπιμερέσι παντοίαις καὶ μικταῖς παντοίαις τὸ τῆς ἀναλογίας ταύτης ἰδίωμα σώζεσθαι ἔστω ἱκανὸν καὶ αὔταρκες ἡμῖν ἐκεῖνο, ἐν ᾧ ἀπὸ ἰσότητος ἐπλάσσομεν κατὰ τὰ τρία προςτάγματα πάντα τὰ τοῦ ἀνίσου εἴδη ἐξ ἀλλήλων ὀρθῶς τε τιθεμένων καὶ ἀναστρεφομένων· ἑκάστη γὰρ πλάσις καὶ ἔκθεσις ἀναλογία ἐστὶ γεωμετρικὴ πάντα τὰ λεχθέντα ἰδιώματα περιέχουσα καὶ τέταρτον τὸ ἔν τε μείζοσιν ὄροις ἔν τε ἐλάττοσι τὸν αὐτὸν διαφυλάττειν λόγον· ἀλλὰ καὶ ἐὰν τὸν κοινὸν στίχον ἑτερομηκῶν τε καὶ τετραγώνων ἐκθώμεθα ἕνα παρ᾿ ἕνα περιέχοντα τούς ἐν ἀμφοτέροις αὐτοῖς, εἶτα κατὰ τρεῖς ἀπὸ μονάδος ἀποτεμνόμενοι σκοπῶμεν αἰεὶ τὸν τῶν προτέρων ὕστερον ἀρχὴν τῶν ὑστέρων τιθέμενοι, εὑρήσομεν ἀπὸ πολλαπλασίου σχέσεως, τουτέστι διπλασίου, πάσας τὰς ἐπιμορίους ἑξῆς ἐπιφαινομένας, ἡμιόλιον, εἶτα ἐπίτριτον, εἶτα ἐπιτέταρτον καὶ ἐφεξῆς. εὐκαιρότατον δ᾿ ἂν εἴη ἐνταῦθα γενομένους ἐπιμνησθῆναι παρακολουθήματος χρησιμεύοντος ἡμῖν εἰς Πλατωνικόν τι θεώρημα· οἱ μὲν γὰρ ἐπίπεδοι μιᾷ μεσότητι συνέχονται πάντως, οἱ δὲ στερεοὶ δυσὶν ἀνάλογον κειμέναις· δύο γὰρ τετραγώνων συνεχῶν εἶς μόνος εὑρίσκεται μέσος ἀναλογίαν σώζων γεωμετρικήν, πρόλογος μὲν πρὸς τὸν ἐλάττονα, ὑπόλογος δὲ πρὸς τὸν μείζονα, οὐδέποτε δὲ πλείονες· δύο ἄρα διαστήματα θεωροῦμεν πρὸς ἑκάτερον τῶν ἄκρων αὐτοῦ τοῦ μέσου ἐν σχέσει λόγων ὁμοίων. πάλιν δὲ δύο κύβων συνεχῶν δύο μόνοι εὑρίσκονται ἀνάλογον μέσοι ὅροι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν, πλείονες δὲ οὐδέποτε· τρία ἄρα διαστήματα, ἓν μὲν τὸ μεταξύ τῶν μέσων πρὸς ἀλλήλους, δύο δὲ τὰ μεταξύ τῶν ἄκρων πρὸς τούς μέσους ἑκατέρωθεν. οὕτω τὰ μὲν στερεὰ σχήματα λέγεται τριχῆ διαστατά, τὰ δὲ ἐπίπεδα διχῆ, οἷον ὁ α καὶ ὁ δ ἐπίπεδοι, μέσος δὲ ἀνάλογον ὁ β, ἢ οἷον δ, θ, δύο τετράγωνοι, μέσος δὲ αὐτῶν ἀνάλογον ὁ Ϛ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐχόμενος ὑπὸ τοῦ μείζονος καὶ ἔχων τὸν ἐλάττονα, ἐν ᾧ καὶ ἡ διαφορὰ διαφορὰν ἔχει. τούτου δʼ αἴτιον, ὅτι αἱ τῶν δύο τετραγώνων πλευραί, ἐκατέρα μία ἰδία, αὐτὸν τὸν Ϛ ἄμα ἀμφότεραι ἐγέννησαν· ἐν δὲ κύβοις, οἷον τῷ η καὶ τῷ κζ, μία μὲν οὐκέτι, δύο δὲ μεσότητες εὑρίσκονται ὅ τε ιβ καὶ ιη, ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἑαυτάς τε καὶ τούς ὅρους ποιοῦσαι, ἐν καὶ αἱ διαφοραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσί· καὶ τούτου δ᾿ αἴτιον τὸ τῶν κυβικῶν πλευρῶν μίγδην σύστημα εἶναι τὰς δύο μεσότητας, δὶς β τρὶς καὶ τρὶς γ δίς. ἐὰν μὲν οὖν καθόλου τετράγωνος τετράγωνον λάβῃ, τουτέστι πολυπλασιάσῃ, τετράγωνον πάντως ποιεῖ, ἂν δὲ τετράγωνος ἑτερομήκη . οὐδέποτε τετράγωνος ἀποτελεῖται, κἂν κύβος κύβον, κύβος πάντως γενήσεται, ἐὰν δὲ ἑτερομήκης κύβον ,οὐδέποτε κύβος, καθάπερ ἀμέλει ἂν ἄρτιος ἄρτιον πολυπλασιάσῃ, πάντως ἄρτιος γεννᾶται, κὰν περισσὸς περισσόν, πάντως περισσός, ἂν δὲ περισσὸς ἄρτιον ἢ ἄρτιος περισσόν, πάντως ὁ γινόμενος ἔσται ἄρτιος, οὐδέποτε δὲ περισσός. ταῦτα δὲ τῆς οἰκείας σαφηνείας ἐπιλήψεται ἐν τῇ Πλατωνικῇ συναναγνώσει κατὰ τὸν τοῦ λεγομένου γάμου τόπον ἐν τῇ Πολιτείᾳ ἀπὸ προςώπου τῶν Μουσῶν παρειςαγομένου· ὥςτε ἐπὶ τὴν τρίτην ἀναλογίαν τὴν καλουμένην ἁρμονικὴν μεταβάντες διαιρῶμεν.