ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΔΕΥΤΓΡΟΝ.

κζ. Ὥςπερ δὲ ἐν τῇ τοῦ μουσικοῦ κανόνος κατατομῇ χορδῆς μιᾶς τεταμένης ἢ αὐλοῦ μήκους ἑνὸς ἐκκειμένου τῶν ἄκρων ἀμετακινήτων ὑπαρχόντων, μεταλαμβανούσης δὲ τῆς μεσότητος ἐν μὲν τῷ αὐλῷ διὰ τρυπημάτων, ἐν δὲ τῇ χορδῇ διʼ ὑπαγωγέως, ἄλλον ἐξ ἄλλου τρόπον ἀποτελεῖσθαι δύνανται αἰ προλεχθεῖσαι μεσότητες, ἀριθμητική τε καὶ γεωμετρική καὶ ἁρμονική, ἵνα εἰκότως καὶ ἐτυμώτατα καλοῖντο διὰ τὴν τοῦ μέσου ὅρου μετάστασίν τε καὶ μεταγωγὴν διαφόρως συντελούμεναι, οὕτως καὶ ἐν ἀριθμητικοῖς δυσὶν ὅροις, εἴτε περισσοῖς ἀμφοτέροις εἴτε καὶ ἀρτίοις, εὔλογόν ἐστι καὶ ἄμα δυνατὸν μένουσιν ἐν τῷ αὐτῷ καὶ μὴ μεταβιβαζομένοις μεσότητα καθ᾿ ἑκάστην τῶν τριῶν ἐφαρμόζουσαν ἐντάσσεσθαι· κατὰ μὲν ἀριθμητικὴν ἴσῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, κατὰ δὲ γεωμετρικὴν ὁμοίῳ λόγῳ διαφορουμένην, κατὰ δὲ ἁρμονικὴν τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τῶν αὐτῶν μείζονά τε καὶ ἐλάττονα. προκείσθωσαν δὴ πρῶτον ἄρτιοι ὅροι δύο, ὧν μεταξύ αἱ τρεῖς μεσότητες ζητητέον πῶς ἂν ταγεῖεν καὶ τίνες, καὶ ἔστωσαν ὅ τε ι καὶ ὁ μ. πρῶτον οὖν τὴν ἀριθμητικὴν ἐναρμόζω καὶ ἔστιν κε καὶ τὰ παρακολουθήματα αὐτῆς σώζεται πάντα κἀνταῦθα· ὡς γὰρ ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν, οὕτω καὶ διαφορὰ πρὸς διαφοράν, ἆρα ἐν ἰσότητι, καὶ ὅσῳ ὁ μείζων τοῦ μέσου, τοσούτῳ καὶ οὗτος τοῦ ἐλάττονος ὑπερφέρει, καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου καὶ ὁ τῶν ἐλαττόνων ὅρων λόγος μείζων τοῦ τῶν μειζόνων καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τῷ ἀπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ, καὶ ὁ μέσος τῷ αὐτῷ ἰδίῳ μέρει καὶ μείζων ὑπάρχει καὶ ἐλάττων τῶν ἄκρων, ἐν δὲ τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ἑτέρῳ καὶ ἑτέρῳ. ἐὰν δὲ τὴν κ μεσότητα ἐμβάλλω εἰς τούς προκειμένους ἀρτίους ὅρους, τὰ τῆς γεωμετρικῆς ἰδιώματα ἀνακύπτει, ἐξαπόλλυνται δὲ τὰ τῆς ἀριθμητικῆς· οἷος γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον, τοιοῦτος καὶ ὁ μέσος πρὸς τὸν μικρόν, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσο καὶ αἱ διαφοραὶ πρὸς ἀλλήλας ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ θεωροῦνται, ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι, καὶ οὔτε ἐν τοῖς ἄκροις καθαροῖς ἡ τοῦ μέρους ταυτότης καθ᾿ ὑπεροχὴν καὶ ἔλλειψιν οὕτε ἐν μέσῳ καθαρῷ. ἀλλ᾿ ἐν μέσῳ καὶ θατέρῳ τῶν ἄκρων παρὰ μέρος, ἔν τε μείζοσιν ὅροις καὶ ἐλάττοσιν ἶσος λόγος. ἐὰν δὲ τὸν ιϚ ἀντιλάβω μέσον ὄρον, πάλιν τὰ μὲν τῶν προτέρων δυοῖν μεσοτήτων ἰδιώματα ἐκποδών γίνεται, τὰ δὲ τῆς ἁρμονικῆς ἀναφαίνεται πρὸς τούς αὐτούς διαμένοντα δύο ἀρτίους ὅρους· ὥςπερ γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ τῶν μειζόνων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, καὶ ὅσοις μέρεσιν ὁ μέσος ἐλάττων τοῦ μείζονος ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωροῦ μένοις, τοσούτοις ὁ αὐτὸς τοῦ ἐλάττονος μείζων ἐν αὐτῷ τῷ ἐλάττονι θεωρουμένοις, καὶ ὁ μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγος μείζων, ἐλάττων δʼ ὁ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν, ὅπερ οὐκ ἐπ᾿ ἄλλης, καὶ συντεθέντα τὰ ἄκρα καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντα διπλάσιον ἀποτελεῖ τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου. ἂν δὲ οἱ δύο ἄκροι ὅροι μὴ ἄρτιοι ἐκτεθῶσιν, ἀλλὰ περισσοί, οἷον ε, με, ὁ μὲν αὐτὸς ὅρος ὁ κε ἀριθμητικὴν ποιήσει· σἴτιον δὲ τούτου, ὅτι ἐφ᾿ ἑκάτερα αὐτοῦ ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέβησάν τε καὶ ὑπέβησαν οἱ ὅροι τὴν αὐτὴν πρὸς αὐτὸν διατηροῦντες διαφορὰς ποσότητα· ὁ δὲ ιε ἀντιτεθεὶς τὴν γεωμετρικὴν ἀποδίδωσι τριπλάσιός τε καὶ ὑποτριπλάσιος ἑκατέρου ἂν· ὁ δὲ θ μεταλαβών τὸ μέσος εἶναι τὴν ἁρμονικὴν ἀποδίδωσιν, οἷς γὰρ μέρεσι μείζων τοῦ ἐλάττονός ἐστι, τέσσαρσι πέμπτοις αὐτοῦ τοῦ ἐλάττονος, τούτοις τοῦ μείζονος ἐλάττων ἐστὶν ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωρουμένοις, τέσσαρσι γὰρ πέμπτοις, καὶ πάντα τὰ προλεχθέντα ἰδιώματα ἐφαρμόζων σύμφωνα εὑρήσεις. Ἔφοδος δέ, ὡς ἄν ἐντέχνως πλάσσοις τούς προδειχθέντας ὅρους κατὰ τὰς τρεῖς ἀναλογίας, τοιαύτη ἔστω σοι· ἐπ᾿ ἀμφοτέρων τῶν προχειρισθέντων ὅρων περισσῶν τε καὶ ἀρτίων ἀριθμητικὴν μὲν εὐρήσεις, συνθεὶς τὰ ἄκρα τούτων τὸ ἥμισυ μέσοντάξον ἢ τὴν τοῦ μείζονος ὑπεροχὴν πρὸς τὸν ἐλάττονα διχῆ τεμών καὶ προςθεὶς τῷ ἐλάττονι μέσον ἕξεις· γεωμετρικὴν δέ, τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρὼν μέσον ὅρον ποιήσεις ἢ ὃν ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους οἱ ὅροι λόγον ἰδών, τοῦτον δίχα τεμών μέσον ποίησον, οἷον ἐπὶ τετραπλασίου διπλάσιον· ἁρμονικὴν δέ, τῶν ἄκρων τὴν διαφορὰν ποιητέον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα καὶ τὸν γενόμενον παραβλητέον ἐπὶ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων, εἶτα τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς προςθετέον τῷ ἐλάττονι, καὶ ἔσται ὁ γινόμενος ἁρμονικὴ μεσότης.