ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

15 η΄. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ Γ∠ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ Γ∠Ζ, καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, ἡ δὲ ΑΒ τῆς ∠Γ μείζων (ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα)· δεῖ δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι, ὥστε τὰς δ΄ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠ ἅμα. Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν Γ∠, τετμήσθω δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ Γ∠ μείζων ἐστίν (ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖ∠), καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς Γ∠. καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα· τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως καὶ τῶν Γ∠ ΚΜ ΜΘ. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον (φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ, ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς ΓΖ∠, καὶ αἱ δ΄ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ ἡμίσεια τῆς ΗΘ), ἐκ δὲ τῶν Γ∠ ΚΜΘ τὸ ΓΝ∠ (ὑμοίως γὰρ ἔνδον συνίστανται). καὶ φανερὸν ὅτι όμοια ἔσται τὰ τρίγωνα, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἥ τε ΗΛ πρὸς ΚΜ καὶ ἡ ΛΚ πρὸς ΜΘ, καὶ αἱ ἴσαι συνιστάμενσι ἡ ΑΞ πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ πρὸς ∠Ν.