Book 3

1 α΄. Ἐὰν ἦ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἀναγραφῇ τυχόντα παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ, καὶ αἱ ∠Ε ΖΗ ἐκβληθῶσιν ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΘΒ, γίνεται τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ παραλληλόγραμμα ἵσα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΘΒ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ἐν γωνίᾳ ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ∠ΘΒ. Ἐκθεβλήσθω γὰρ ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ διὰ τῶν Α Γ τῇ ΘΚ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΛ ΓΜ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΛΘΒ, αἱ ΑΛ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. ὁμοίως καὶ αἱ ΜΓ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΛΑ ΜΓ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. καὶ αἱ ΛΜ ΑΓ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΛΜΓ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ τε ὑπὸ ΒΑΓ καὶ ὑπὸ ∠ΘΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΘΒ τῇ ὑπὸ ΛΑΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ∠ΑΒΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΛΑΒΘ ἴσον ἐστίν (ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΑΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΒ ∠Θ), ἀλλὰ τὸ ΛΑΒΘ τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἐστίν (ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΛΑ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΛΑ ΘΚ), καὶ τὸ Α∠ΕΒ ἄρα τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἔστίν. διὰ τὰ αὺτὰ καὶ τὸ ΒΗΖΓ τῷ ΝΚΓΜ ἴσον ἐστίν· τὰ ἄρα ∠ΑΒΕ ΒΗΖΓ παραλληλόγραμμα τῷ ΛΑΓΜ ἴσα ἐστίν, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΓ ΘΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ, ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέραις ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ ΒΘ∠. καὶ ἔστι τοῦτο καθολικώτερον πολλῷ τοῦ ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις ἐπὶ τῶν τετραγώνων ἐν τοῖς στοιχείοις δεδειγμένου.