Book 3

23 ιϚ΄ . ∠ύο ἡμικύκλια τὰ BΗΓ· BΕ ∠,καὶ ἐφαπτόμενος αὐτῶν κύκλος ὁ ΕΖΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Α κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν BΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἡ ΑΜ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, οὕτως ἐπὶ μέν τῆς πρώτης καταγραφῆς ἀμφότερος ἡ ΓΒ B ∠πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠,ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης οὕτως ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓB B ∠,τουέστιν τὴν Γ ∠. Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ BΓ παράλληλος ἡ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι οἱ BΗΓ· EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Η, καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ BΓ ΖΘ, εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Η Θ B καὶ ἡ διὰ τῶν Η Ζ Γ, πάλιν ἐπεὶ δύο κύκλοι οἱ ΒΕ ∠EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμετροί εἰσιν αἱ ΘΖ B ∠,εἐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Ζ Ε B καὶ ἡ δμὼ τῶν Θ Ε ∠. ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Θ Ζ σημείων κάθετοι αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΙ ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΒΚ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖΛ ΒΕ ∠τριγώνων ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΛ, καὶ τὸ ὑπὸ ∠Β ΒΛ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ τῷ ὑπὸ ∠Β ΒΛ ,ἂν δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ ∠πίπτῃ, τῷ ἀπὸ τῆς Β∠. ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης καταγραφῆς ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ Β∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠,οὕτως, καὶ συναμφότεπος ἡ ΛΒ ΒΚ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὺτῶv τὴν ΚΛ. καὶ ἔστι συναμφοτέρου μέν τῆς ΛΒ ΒΚ ἡμίσεια ἡ ΒΜ (διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΚΜ τῇ ΜΛ), τῆς δὲ ΛΚ ἡμίσεια ἡ ΜΚ· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΒ Β ∠πρὸς τὴν Γ ∠,οὕτως ἡ ΒΜ πρὸς ΜΚ, τουτέστιν πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ἐτι δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης καταγραφῆς, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΒΚ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ∠ΒΛ, ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β ∠,οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒK. συνθέντι ὡς ἡ Γ ∠πρὸς ∠Β, ἡ ΚΛ πρὸς ΚΒ· ὥστε καὶ ὡς ἡ Γ ∠πρὸς τὴν τῶν ΓΒ Β ∠ὑπεροχήν, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχήν. καὶ ἔστι τῆς μὲν ΚΛ ἡμίσεια ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ,ἡ δὲ ΒΜ ἡμίσεια τῆς τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχῆς διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΛΜ τῇ ΜΚ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς συναμφότερος ἡ ΓΒ Β ∠πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠,ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τῆς τρίτης ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓΒ ∠,τουτέστιν τὴν Γ ∠.