Book 3

52 λδ΄. Δύναται δὲ καὶ διὰ τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γρσφομένης ἕλικος ἀναλύεσθαι τὸν ὅμοιον τρόπον. ἔστω γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, καὶ ἐν ᾧ ἡ ΑΒ εὐθεῖα περὶ τὸ Β κινουμένη παροδεύει τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω θέσιν λαβούσης τὴν ΓΒ τῆς ΑΒ, καὶ ποιείτω τὴν ΒΗΑ ἕλικα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ Α∠Γ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλάξ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ πρὸς ∠Γ· ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΖΕ. ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἡ ΚΗ ἔση τῇ ΒΗ· ἐν κυλινδροειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς ἕλικος τὸ Κ. ἀλλὰ καὶ ἐν κωνικῇ (ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΒΚ ἐν κωνικῇ γίνεται ἐπιφανείᾳ ἡμίσειαν ὀρθῆς κεκλιμένη πρὸς τὸ ὑποκείμενον καὶ ἠγμένῃ διὰ δοθέντος τοῦ Β)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Κ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ ΛΚΙ, καὶ ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΛ ΕΙ· ἐν πλεκτοειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ ἡ ΛΚΙ (φέρεται γὰρ διά τε τῆς ΒΛ εὐθείας θέσει οὔσης καὶ διὰ θέσει γραμμῆς πρὸς ᾗ τὸ Κ)· καὶ τὸ Ι ἄρα ἐν ἐπιφανείᾳ. ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιπέδῳ (ἴση γὰρ ἡ ΖΕ τῇ ΕΙ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΒΗ, καὶ γίνεται παρὰ θέσει ἡ ΖΙ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν ΒΓ)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Ι, ὥστς καὶ τὸ Ε. καὶ δῆλον ὅτι, ἂν ὀρθὴ ἥ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γραμμή γίνεται.