Book 3

80 νδ΄. Τούτων προγεγραμμένων προκειμένη προγενομένη τὸν τρόπον τοῦτον. θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ καὶ θέσει ἐν αὐτῷ εὐθείας τῆς ΒΓ, καὶ δοθέντος ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ Α, θεῖναι μεταξὺ τῆς ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας ἴσην τῇ τεθείσῃ νεύουσαν πρὸς τὸ Γ. Γεγονέτω γάρ, καὶ κείσθω τῇ ΕΑ ἴση, καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Ζ ἴση τῇ Α∠. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει τὴν ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Α προσβέβληται ἡ Α∠, καὶ ἴση τῇ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ἀπὸ το πρὸς ὑπερβολῇ (ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ Β∠Γ τῷ ὑπὸ Α∠Ε, τουτέστιν τῷ ὑπὸ Ζ∠Ε). καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ∠Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ Β∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ∠Ζ· τὸ Ζ ἄρα πρὸς παραβολῇ δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἀναλο τῷ προβλήματι χρῆται ὁ Ἀρχιμήδης πρὸς τὸ δεῖξαι κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν. αἰτιῶνται δὲ αὐτοῦ τινες ὡς οὐ δεόντως χρησαμένου στερεῷ προβλήματι δεικνύουσιν ὡς καὶ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν.