ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

53 (ιβ΄). Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ μείζων ἐστίν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ· ἔστω τῇ Θ ἴση ἡ ΓΟ ,καὶ διῃρήσθω ἡ Κ0Β περιφέρεια εἶς περιφερείας ἴσας ὁσασδήποτε, ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς ΚΛΟ, ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ. ἡ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια περιέχεαι ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρον δύναται, ἐτιζευχθείσης τῆς ΓΛ, τὸ ὑπὸ ΛΓ ΚΑ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα, ἐλάσσων δέ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιρανείας· πολλῷ ἄρα ὁ κύκλος οὗ ᾗ ἐκ κέντρου δύναταμι τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται μεταξύ ὢν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου θὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὅπερ ἀδύνατον ἴσα ἅρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα. Καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν τὸ Α κέντρον ᾖ, γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον, καὶ ἔσεαι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΓ, ἢ καὶ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων, ὁποῖα ἔν ἧ, τὸ αὐτὸ συναχθήσεται.