ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

55 λγ΄ (ιδ΄). Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ᾿ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος. Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ αἱ ΓΕ Α∠. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ∠ὁρθῇ τῇ Ε ἴση, κοινὴ δὲ ἡ B, ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς Α∠ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς Α∠, τὸ ὑπὸ ΒΑ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠· ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ B Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠, οὕτως ἡ BΓ πρὸς ΓΕ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑ∠, ὕψος δέ ἡ ΓΕ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ Α∠, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ· (διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι πάλιν τάς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν). καὶ ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Α∠, ὕψος δὲ ἡ BΓ· τὸ αὐτὸ ἔρα στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ κύνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ BΑ∠, ὕψος δὲ τὴν ΓΕ κάθετον. ἀλλʼ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιε΄ πάλιν Ἀρχιμήδους θεύρημα . ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς BΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.