ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

70 μγ΄. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μέν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΕΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ, διχοτομία δέ τὸ Ε, καὶ κέντρον τὸ Ζ, ὁπόταν τρεῖς ἀχθῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν ΑΕΓ, ὡς αἱ ΑΒ Β∠ ∠Γ, μενούσης δὲ τῆς ΑΓ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ὁ γινόμενος ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠Γʼ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινομένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἀνάλογόν ἐστιν τῆς Β∠ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ Γ∠, τουτέστιν τῷ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ ἐστὶν ἡ ΑΓ, οὗτος δὲ ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶν τέσσαρσι μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, δέδεικται δὲ καὶ ἡ τῆς σραίρας ἐπιφάνεια δ΄ μεγίστοις ἴση, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς σφαίρας ἐπιφανείᾳ· μετὰ δύο ἄρα κύκλων, οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, λόγον ἔχει πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν, ὃν ἔχει τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ δ΄ οὗτος δὲ ὁ λόγος ἡμιόλιός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψοε δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου, ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος. τῆς σφαίρας.