ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

81 ν΄ (ζ΄). Γῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφʼ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκοσαέδρου. Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ Ε κέντρον, ἡ δὲ ∠ΚΒ πενταγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμετρον ,καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου, καί τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϚ΄ θεώργμα τοῦ ιγ΄. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Λ∠ ΛΒ ΛΚ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρθή ἐστιν ὑπὸ ΒΓΛ, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ι΄ θεώρημα τοῦ ιγ΄· ὁμοίως καὶ ἡ Λ∠. ἔτι δὲ καὶ ἡ Β∠ τὸ ἄρα ΒΛ∠ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεσρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ Β∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων, ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν B∠ · καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ∠ ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον, ὁρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ. ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον ὥστε καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ 0Ν· δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ R∠Λ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτων τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ Β∠Α τρίγωνον. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δ΄. τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ· ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ (ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν), καὶ ἡ ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση (τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ). καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ· οἳων ἄρα ἡ ΚΛ Ϛ΄, ἡ ΛΝ δ΄ καὶ ἡ ΚΝ β΄, καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός· τριπλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μεῖζονά ἐστιν ε΄ τῶν ἀπὸ B∠.