# Synagoge 92

Pappus Alexandrinus, Synagoge, ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.. Ancient Greek.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/greek/pappus-alexandrinus/synagoge/92

92 να΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι. Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ, ∠ Ε Ζ, Η Θ Κ, Λ Μ Ν. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου πρὸς τήν ἐπιψάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις, ἐν ἑνὶ ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ Α ΓΖ Η Ε σημεῖα . καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον· ὁμοίως καὶ ἑκάτερον τῶν ΚΕΒΓ∠ ∠ΘΖΒΑ καὶ τὰ ΑΚΛΗΒ ΑΚΝΘΓ ΓΘΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια , καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΛΜ· καὶ γὰρ τὸ ΛΚ∠ΘΜ πεντάγωνόν ἐστιν. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ μὲν ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Γ, Ε ∠, Η Θ, Λ Ν παράλληλοι, αἱ δὲ ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Α, Ζ ∠, Η Κ, Μ Ν παράλληλοι. καὶ ὁμοίως ὁ περὶ τὰ Α Β Γ κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ περὶ τὰ Λ Μ Ν· ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΛΜΝ. οἱ δὲ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ, Η Θ σημεῖα κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα ἴσα καὶ ἰσόπλευρα· ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ, Κ Η Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευραὶ παράλληλοι αἱ ΕΖ ΚΘ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων , ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Κ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΚ γωνία· προδέδεικται γάρ. καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ ΗΕΑΓΖ, τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, μεῖζον ἔσται τμῆμα ἡ ΑΓ· ἡ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δύναται ἀμφο τέρας ἡ ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΑΓ· ἕξει ἄρα ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, πρὸς δὲ ΑΓ, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δοθεῖσα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΖ ΑΓ, ὥστε καί αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν ΕΖ ΑΓ· καὶ αὐτοὶ ἄρα οἱ κύκλοι δοθέντες, καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι, καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν.

---

Pappus Alexandrinus, Synagoge, ed. Friedrich Hultsch. Text: The Greek Library, from the Perseus Digital Library and other open sources, CC BY-SA 4.0. Changes: apostrophes normalised and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/). Source: https://thegreeklibrary.pages.lisn.upsaclay.fr/works/tlg2032.tlg001.local001/.