SCHOLIA.

167. Δέδοται ἄρα τὸ Α∠Β p. 156, 7] ἐπεὶ τρι- γώνου τοῦ ΑΒ∠ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ Α∠Β ὀρθή ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ οὖσα ἡ ὑπὸ Α∠Β δέδοται, καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι ἴσαι δέδονται, ὧν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ δέδοται, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ δέδοται. ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον ἀφαιρεθῇ, καὶ τὸ ὑπολειπόμενον δέδοται. 168. Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου; ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠ΑΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ ΑΕ παράλληλοι ἡ ∠Β, ΖΓ· τὸ ∠Γ ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· ἴση δὲ ἡ Β∠ τῇ ΑΕ· τὸ ἄρα ∠Γ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ περιεχόμενον ὀρθογώνιον καί ἐστι διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ παραλληλό- γραμμον τριγώνῳ βάσιν ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ᾖ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμ- μον τοῦ τριγώνου· διπλάσιον ἄρα τὸ ΑΓ παραλληλό- γραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τρι- γώνου· τὸ δὲ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠. 169. Καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ p. 156, 6] ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ, τουτ- έστι τὸ ΓΟ πρὸς τὸ ΓΡ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ· δέδοται δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ· οὕτως γὰρ ἐδείχθη πρὸ μικροῦ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος. 170. Καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ p. 156, 19] διὰ τὸ λγ΄ τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου. 171. Πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς [p. 158, 4]. ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Γ, Β τῇ ΕΑ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον διὰ τὸ ἴσας γίνεσθαι τὰς γωνίας ἑκάστην τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· δοθήσεται ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον, καὶ ἔσται λόγος τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΜ δοθείς, τουτ- έστι πρὸς τὴν ΕΑ· ἴση γὰρ ἡ ΓΜ τῇ ΕΑ. 172. Ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ παράλληλος τῇ ΖΗ ἀγο- μένη ἐφάπτεται τῆς περιφερείας, δῆλον· καὶ γάρ, ἐὰν περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τμῆμα περιγράψωμεν, ὅμοια ἔσται τὰ τμήματα, καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΚ· ἡ δὲ ΕΑ ἐφάπτεται· ὥστε καὶ ἡ διὰ τοῦ Κ. 173. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκάστη τῶν πλευρῶν τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, δέδοται ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΗ λόγος διὰ τὸ α΄. πάλιν ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΑΒ πρὸς Β∠ λόγος, ὡς δέδεικται, δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος· ὡς γὰρ δέδεικται ὁ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, οὕτως δειχθήσεται καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος δοθείς· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΖΘΗ γωνίαι, καὶ λόγον ἔχει δεδομένον ἡ μὲν ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ δὲ ΖΘ πρὸς ΘΗ, δεδομένα ἄρα ἐστὶ τῷ εἴδει. 174. Τούτου τοῦ θεωρήματος ἔνστασις κεῖται ἐν τῇ πρώτῃ ἐξωχιῇ, ὅπου σημεῖον τόδε ??. 175. Ἔνστασις εἰς τὸ π΄ θεώρημα ??. φησὶ γὰρ ἐν τῷ π΄ θεωρήματι· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΗΚ· καὶ γεγονέτω, φησίν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Κ σημείου τῇ ΖΗ παράλληλος ἡ ΚΘ. λέξει τις, ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παράλληλος ἀγομένη οὔτε ἐφάψεται οὔτε τεμεῖ τὸ ΖΘΗ τμῆμα, ἀλλʼ ὑπερπεσεῖται. ὑπερπιπτέτω οὖν, εἰ δύνατον, καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ τῇ ΒΓ ὁμοίως κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΛΘΙ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΙΖ, ΙΗ, ΘΗ, ΘΖ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΛΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ, οὕτω γέγονεν ἡ ΖΗ πρὸς ΛΙ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΙ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΛΙ ἴση. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΙΖΛ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΙΛ γωνίᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΙΛ ἴση ἐστίν· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ φῶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· οὕτως γὰρ ὑπέκειτο διὰ τὸ ἐν ΖΘΗ τμήματι εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΘΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ διὰ τοῦ Κ σημείου ἀγομένη παράλληλος τῇ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ΖΘΗ περιφερείας. ὁμοίως δέ, κἂν ἐντός τις ὑπόθηται.