Section 43

43. Ἅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς ἐπὶ τῶν ὁρωμένων γίνεται, ταῦτα καὶ διʼ ἀποδείξεων πιστώσασθαι βουλόμενος ὁ γεωμέτρης τῶν θεωρημάτων παραμυθίας ἀπὸ τῶν γραμμῶν κομίζει κύκλους ἀναγράφων ἐν ταῖς ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἀποπεμπομέναις ἀκτῖσιν καὶ ἐπίπεδα διὰ τῶν ὄψεων ἐκβάλλων καὶ ἕτερα τοιαῦτα ποιῶν, οὐχ ὅτι, ταῦτα μὲν ἐὰν γένηται, ἔσται ἀληθὴς ἡ τοιάδε αὐτοῦ πρότασις, καὶ καθʼ ὄν αὐτός φησι τρόπον θεωρήσουσι τὸ τοιόνδε σχῆμα αἱ ὄψεις, ἐὰν δὲ μὴ γένηται, ψευδής· ἡ γὰρ ἄν, εἰ τοῦτο οὕτως εἶχεν, ἐν τῇ πιθανότητι τῶν ἀποδείξεων ἔκειτο ἂν ἡ τούτων εὕρεσις μόνον, ἀλλʼ οὐκ ἐν τῇ φύσει τῶν ὁρωμένων, καὶ γραφομένων μὲν τῶν κύκλων ἢ τῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων ἑωρᾶτο ἂν τὸ ὁρώμενον, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, μὴ γινομένων δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐθεωρεῖτο τοιοῦτον, ὡς εἶναι μᾶλλον αὐτὸ διὰ τὴν ἀπόδειξιν οὕτως ἔχον ἢ διὰ τὴν φύσιν. τὸ δὲ οὐχ οὕτως ἔχει, ἀλλὰ ὅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς συμβαίνει πάσχειν ταῖς ὄψεσι προσβαλλούσαις τῷ τοιῷδε σχήματι οἷον κυλινδροειδεῖ ἢ κωνοειδεῖ ἢ σφαιροειδεῖ ἐπὶ πλέον ἀφισταμέναις ἢ προσεγγιζούσαις αὐτῷ, τοῦτο δὴ βουλόμενος ἀποδεικνύειν ὁ γεωμέτρης παραμυθεῖται τὴν ἀπόδειξιν διὰ ἐπιπέδων τε καὶ κύκλων καὶ τοιούτων τινῶν, ἵνα κατὰ πάντα σύμφωνον αὐτὴν ποιήσῃ τοῖς ἐν τῇ γεωμετρίᾳ στοιχείοις καὶ παρασκευάσῃ τὸν ἀκροατὴν μετὰ πολλῆς ὅτι μάλιστα ἡδονῆς ἐγκύπτειν τοῖς θεωρήμασιν, ὥσπερ ἀμέλει καὶ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ἔστιν ἰδεῖν αὐτὸν ποιοῦντα καὶ γεωμετρίας καὶ τῶν ἄλλων μαθημάτων. ὅτι μὲν γὰρ δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσον ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ἀλλʼ οὐ δεῖ τοῦτο μόνον ἀπʼ αὐτῆς εἰδέναι τῆς αἰσθήσεως, ἵνʼ οὕτως εἴπω, ἀλλὰ καὶ διʼ ἀποδείξεως ἀσφαλεστέραν ἔχειν τὴν περὶ αὐτοῦ γνῶσιν. ὁμοίως δὲ καὶ τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιήσουσιν, καὶ φανερὸν ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως, ἀλλʼ οὐκ ἀπόχρη πρὸς ἐπιστήμην τὸ οὕτως εἰδέναι μόνον, ἀλλʼ ἔχειν τοῦτο ὁμολογούμενον ἔκ τινων προτέρων καὶ γνωριμωτέρων· τοῦτο δέ ἐστιν ἡ ἀπόδειξις. ὁ αὐτὸς τοίνυν λόγος ἐστὶ καὶ ἐπὶ τούτων, ὅτι φυσικῶς ἔχει ἡ ὅρασις οὕτως ὁρᾶν τὰ ὁρώμενα, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, ἵνα δὲ καὶ ἐπιστήμην αὐτῶν ἔχωμεν, πρὸς κατάληψιν ἀκριβεστέραν παραλαμβάνονται ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν αὐτῶν κύκλοι καὶ ἐπίπεδα καὶ ἄλλα τοιαῦτα. χρὴ δὲ εἰδέναι, ὡς τοὺς κύκλους καὶ τὰ ἐπίπεδα, ὅταν μὲν ὁρῶμεν αὐτὰ τὰ σώματα οἷον σφαῖραν ἢ κύλινδρον, νοητῶς δεῖ ἀναγράφειν ἢ ἐκβάλλειν, ὅταν δὲ ἐν ἐπιπέδῳ, αἰσθητῶς ὡς ἐνταῦθα. Ad prop. XXIV.