ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 12

Ἐν σφαίρᾳ οἱ δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστι τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων· λέγω δὴ, ὅτι καὶ τῆς σφαίρας. Τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν κύκλων. Ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Η σημείον τῷ μὲν τοῦ ΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ, τῷ δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΓΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΗΘ· ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΗΚ, ἐπὶ τῆς ἄρα κοινῆς τομῆς τῶν ΗΘ, ΗΚ, τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἐστίν· ἡ δὲ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἐστι τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ἔστι δὲ καὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κέντρον τὸ Η σημεῖον, οἱ δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντες τῆς σφαίρας κύκλοι μέγιστοί εἰσι· ἐν σφαίρᾳ ἄρα δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.