ΒΙΒΛΙΟΝ ΤΡΙΤΟΝ., Chapter 13

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι ἴσας περιφερείας ἀφαιρῶσι μεχίστου τινὸς κύκλου πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι, ἢ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων, ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτόμενοι· ἴσας ἀπολήψονται περιφερείας ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΔ περιφερείας τὰς ΑΕ, ΕΔ ἴσας ἀφαιρείσθωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΕΗ, καὶ διὰ τῶν Α, Ε, Δ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΓ, ΘΕΚ, ΒΗΔ, ἤτοι διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων, ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτόμενοι· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ. Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΕΔ περιφερείας τὰς ΑΕ, ΕΔ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΗ, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΘΚ περιφερείας τὰς ΘΕ, ΕΚ ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἴση· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἄρα ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. Καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι, ἡ ΑΘ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΔ περιφερείᾳ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ περιφέρεια τῇ ΚΔ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΖΕ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΚΔ τῇ ΕΗ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ περιφερείᾳ ὁμοία ἐστί. Καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ.