ΒΙΒΛΙΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟΝ., Chapter 13

Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι, καὶ γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι, ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι, τοὺς δὲ λοιποὺς τέμνοντες· αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων, ὅμοιαί εἰσιν, αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων, ἴσαι εἰσίν. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, ΚΛ, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΕΚΗΓΦΤ, ΒΖΛΘΔΤΥ, ἑνὸς μὲν αὐτῶν τοῦ ΚΛ ἐφαπτόμενοι κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, τοὺς δὲ λοιποὺς τέμνοντες· λέγω, ὅτι αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων, ὅμοιαί εἰσι. Τίνες δέ εἰσιν αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων, γνωσόμεθα οὕτως. Ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους, ἡ ἄρα ΣΚΑΤ ἡμικυκλίου ἐστὶ περιφέρεια· ἡ ΚΑΤ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡμικυκλίου. Πάλιν ἐπεὶ ἡ ΤΦΓΣ ἡμικυκλίου ἐστὶ περιφέρεια, ἡ ἄρα ΚΣΗΓΦΤ μείζων ἐστὶν ἡμικυκλίου· ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ ΚΑΤ ἐλάσσων ἐστὶν ἡμικυκλίου, ἔστω οὖν ἡμικυκλίου ἡ ΚΑΤΦ. Πάλιν ἐπεὶ ἡ ΣΒΥΤ ἡμικυκλίου ἐστὶ περιφέρεια, ἡ ἄρα ΛΣΒΤ μείζων ἐστὶν ἡμικυκλίου· κείσθω οὖν ἡμικυκλίου ἡ ΛΣΒΥ, τὸ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἡμικύκλιον, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ΚΑΤΦ ἀσύμπτωτόν ἐστι τῷ ἀπὸ τοῦ Λ ἡμικυκλίῳ, τοῦτ’ ἔστι τῷ ΛΣΒΥ. Ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ΚΣΗΓΦ ἡμικύκλιον ἀσύμπτωτόν ἐστι τῷ ΛΔΤΥ ἡμικυκλίῳ· αἱ ἄρα μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων οὖσαι τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΚΡΛ, ΕΞΖ, ΑΝΒ, ΗΟΘ, ΓΠΔ περιφέρειαί εἴσι. Λέγω δὴ, ὅτι αἱ μὲν ΚΡΔ, ΕΞΖ, ΑΝΒ ὅμοιαί εἰσι, καὶ ἔτι αἱ ΚΡΛ, ΗΟΘ, ΓΠΔ ὅμοιαι ἀλλήλαις εἰσὶν, αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων, ἴσαι εἰσίν, τοῦτ’ ἔστιν, ὅτι αἱ μὲν τέσσαρες αἱ ΕΚ, ΚΗ, ΖΛ, ΛΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, αἱ δὲ τέσσαρες αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΗΓ, ΘΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων, καὶ ἔστω τὸ Μ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Μ καὶ ἑκατέρου τῶν Κ, Λ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ a ΜΚΞΝ, ΜΛΟΠ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΕΚΗΓΦ, ΚΛ ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Κ σημεῖον, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων τοῦ ΚΛ καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΜΚΞΝ· ὁ ΜΚΞΝ ἄρα κύκλος καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΕΚΗΓΦ ἥξει πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΜΛΟΠ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΒΖΑΘΔΤ πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΕΚΗΓΤ, ΒΖΑΘΔΤ ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ ἐν τοῖς Κ, Λ σημείοις τμήματα κύκλου ἐφίσταται, τὰ ΚΜ, ΛΜ καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΚΜ, ΜΛ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ἴσας ἄρα περιφερείας ἀπολήψονται, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ περιφέρεια τῇ ΛΔ περιφερείᾳ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΚ τῇ ΛΘ ἔσται ἴση. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΑΕΚΗΓΤ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΜΚΞΝ, ὁ ΜΚΞΝ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕΚ περιφέρεια τῇ ΚΗΓ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΝ τῇ ΝΓ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΒΛ τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΒΠ τῇ ΠΔ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕΚ περιφέρεια τῇ ΛΘΔ περιφερείᾳ, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΕΚ περιφερείας διπλῇ ἡ ΑΕΚΗΓ περιφέρεια, τῆς δὲ ΛΘΔ περιφερείας διπλῇ ἡ ΒΖΛΘΔ· καὶ ἡ ΑΕΚΗΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ΒΖΛΘΔ. Καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι, μέγιστοι γάρ εἰσιν· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· καὶ διὰ τοῦτο ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΓΒ περιφερείᾳ. Καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓ περιφερείας ἡμίσεια ἡ ΑΝ, τῆς δὲ ΒΓΔ ἡμίσεια ἡ ΒΠ· καὶ ἡ ΑΝ ἄρα τῇ ΠΒ ἴση ἐστί. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΒ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΝΒ ὅλῃ τῇ ΝΒΠ ἐστὶν ἴση· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΝΒ περιφέρεια τῇ ΝΒΠ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ ΝΒΠ τῇ ΚΛ ἐστὶν a ὁμοία, ἐὰν γὰρ ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, αἱ τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων, ὅμοιαί εἰσι. Καί εἰσιν αἱ ΚΛ, ΝΒΓΠ περιφέρειαι τῶν παραλλήλων κύκλων, μεταξὺ οὖσαι τῶν μεγίστων τῶν ΜΝ, ΜΠ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ὄντων· καὶ ἡ ΑΝΒ ἄρα τῇ ΚΑ ἐστὶν ὁμοία. Ὁμοίως δὴ δείξομεν b, ὅτι καὶ ἡ ΕΞΖ τῇ ΚΛ ἐστὶν ὁμοία, καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΕΖ ὁμοία ἐστί. Καὶ ἔτι ὁμοίως δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΠΔ τῇ ΗΟΘ ἐστιν ὁμοία· αἱ ἄρα τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων, ὅμοιαί εἰσι. Λέγω δὴ, ὅτι καὶ αἱ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων, ἴσαι εἰσίν. Ἐπεὶ γὰρ αἱ τέσσαρες αἱ ΑΕΚ, ΚΗΓ, ΒΖΛ, ΛΘΔ περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, ὧν αἱ τέσσαρες αἱ ΕΚ, ΚΗ, ΖΛ, ΛΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· [ὁμοίως γὰρ οἱ ΚΝ, ΛΠ μέγιστοι κύκλοι ὄντες δίχα τέμνουσι τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τὰ ΕΚΗ, ΕΞΗ, καὶ τὰ ΖΑΘ, ΖΟΘ, ὥστε ἴση ἐστὸν ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ, ἀλλ’ ἡ ΕΚ τῇ ΛΘ ἐδείχθη ἴση, καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ ΛΘ ἐστιν ἴση, ἀλλ’ ἡ ΘΛ τῇ ΛΖ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΛΖ ἄρα τῇ ΚΗ ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΚ, ΚΗ, ΖΛ, ΛΘ ἴσαι εἰσί· λοιπαὶ ἄρα αἱ τέσσαρες αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ, ΘΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. c] Αἱ ἄρα τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων, ἴσαι εἰσίν.