ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 15

Ἐὰν ἐν σφαιρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαιρᾳ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ τεμνέτω διὰ τῶν πόλων· λέγω, ὅτι δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει. Ἔστωσαν γὰρ οἱ πόλοι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου τὰ Α, Γ σημεῖα, φανερὸν δὴ, ὅτι ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου εἰσὶ, διὰ γὰρ τῶν πόλων τέμνει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτοῦ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΑΓ· ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται· ἡ ΑΓ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΑΓ ἐπί‐ πεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ. Ἕν δὲ τῶν διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸ ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνει· τέμνει δὲ αὐτὸν καὶ δίχα a· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνων δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ πρὸς ὀρθάς.