ΒΙΒΛΙΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟΝ., Chapter 21

Ἐὰν ἐν ἴσαις σφαίραις ἐπὶ μεγίστων κύκλων μέγιστοι κύκλοι κεκλιμένοι ὦσιν, ὁποτερουοῦν αὐτῶν ὁ πόλος μετεωρότερος ᾖ, μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος· ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων, ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι. Ἐν γὰρ σφαίραις ἴσαις ἐπὶ μεγίστων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ κεκλιμένοι ἔστωσαν, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΒΚΔ κύκλου πόλος τὸ Μ σημεῖον, τοῦ δὲ ΖΛΘ κύκλου πόλος τὸ Ν σημεῖον, μετεωρότερον δὲ ἔστω τὸ Μ τοῦ Ν· λέγω, ὅτι ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ. Γεγράφθω διὰ μὲν τοῦ Μ καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ, διὰ δὲ τοῦ Ν καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΕΛΝΗ· καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΒΚΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ, τοῦ δὲ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ ΒΚΔ καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΞ· καὶ ἔτι τοῦ μὲν ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΖΘ, τοῦ δὲ ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΕΛΝΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΗ, τοῦ δὲ ΕΛΝΗ καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΛΟ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒΓΔ, ΒΚΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΚΜΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων, ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον. Ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων ἡ ΒΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον, ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ τῆς ΒΞΔ ἑκατέρα τῶν ΚΞ, ΞΑ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΒΞ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΚΞ, ΞΑ ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα τέμνει ἄλληλα τὰ ΑΒΓΔ, ΒΚΔ, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἠγμέναι εἰσὶν ἡ ΚΞ, ΞΑ, ἡ μὲν ΚΞ ἐν τῷ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΞΑ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΘ ἐπίπεδον. Λέγω δὴ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ γωνίας. Ἐπεὶ γὰρ μετεωρότερον ἐστὶ τὸ Μ τοῦ Ν, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον. Ἀλλ’ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πίπτει τοῦ τε ΑΚΜΓ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ, τοῦτ’ ἔστι, τὴν ΑΓ, διὰ τὸ ὀρθὰ εἶναι πρὸς ἄλληλα τὰ ΑΚΜΓ, ΑΒΓΔ ἐπίπεδα, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν ΕΗ πίπτει· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ ἀγομένης καθέτου. Ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ, ΕΛΝΗ, καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ, Ν, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὴν ΕΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῆς ΝΗ περιφερείας. Ἴση δὲ ἡ ΜΚ περιφέρεια τῇ ΝΛ περιφερείᾳ, ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ περιφέρεια ὅλης τῆς ΛΝΗ περιφερείας μείζων ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση ἐστὶν, ὧν ἡ ΚΜΓ τῆς ΛΝΗ μείζων ἐστὶ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΛ περιφερείας ἐλάσσων ἐστί. Καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ, ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ. Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ἡ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΗΘ ἐπίπεδον· ἡ ἄρα τοῦ ΒΚΔ κύκλου πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον κλίσις ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον κλίσεως. Ὁ ΒΚΔ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. Ἀλλὰ δὴ πάλιν τῶν ΒΚΔ, ΖΛΘ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπεχέτωσαν τῶν ἐπιπέδων, τοῦτ’ ἔστιν, ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον· λέγω, ὅτι οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, τοῦτ’ ἔστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾖ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον· λέγω οὖν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ. Ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ, ΕΛΝΗ, καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ, Ν, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἀγομένη ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ καθέτῳ ἀγομένῃ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῇ ΗΝ περιφερείᾳ. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΚ τῇ ΛΝ ἴση, ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον γραφομένου· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΛΝΗ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΕΛ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. Καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ, ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟE. Καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον· ἡ ἄρα κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἴση ἐστὶ τῇ κλίσει τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. Οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ ἄρα κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι. Ἐμάθομεν γὰρ, ὅτι ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται, καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων. πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν.