ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 3

Σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ b ἅπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα, ἢ ἕν. Εἰ γὰρ δυνατὸν, σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος ἁπτέσθω κατὰ πλείονα σημεῖα τὰ Α, Β. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΓ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλου περιφέρειαν, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΔΑΒ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν ΕΑΒΖ. Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον οὐ τέμνει τὴν σφαῖραν, ἔστι δὲ ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ κύκλος, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ ἡ εὐθεῖα, οὐδὲ τὸν ΔΑΒ κύκλον ἄρα τέμνει ἡ ΕΑΒΖ εὐθεῖα. Ἐπεὶ οὖν κυκλου τοῦ ΔΑΒ ἐπὶ τῆς περιφερείας εἴληπται δύο σημεῖα τυχόντα τὰ Α, Β, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου ΔΑΒ, ἀλλὰ καὶ ἐκτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Σφαῖρα ἄρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ ἅψεται κατὰ πλείονα σημεῖα, ἢ ἕν.