ΒΙΒΛΙΟΝ ΤΡΙΤΟΝ., Chapter 5

Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γινομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν· ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κυκλου, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τῆς ποῤῥώτερον. Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ a ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΖΓ, ΔΖΕ πρὸς ὀρθὰς. ὧν ὁ μὲν ΒΖΓ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΖΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΖΕ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΚΘ, ΘΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ, διὰ δὲ τῶν Κ, Θ, Η σημείων παράλληλοι κύκλοι γεγράθωσαν οἱ ΟΚΠ, ΝΘΞ, ΛΗΜ· λέγω, ὅτι οἱ ΟΚΠ, ΝΘΞ, ΛΗΜ κύκλοι ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου μεγίστου τοῦ ΑΒΓ, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ΒΖΓ τῆς ποῤῥώτερον· λέγω οὖν, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΟΝ περιφέρεια τῆς ΝΛ περιφερείας. Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α, Θ σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΡ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΟΚΠ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΝΟ περιφέρεια τῇ ΑΘΡ περιφερείᾳ. Πάλιν ἐπεὶ το Α σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΝΘΞ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛΝ περιφέρεια τῇ ΑΣΘ περιφερείᾳ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΟ λοιπῇ τῇ ΘΡ ἐστιν ἴση. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΛΝ περιφέρεια τῇ ΣΘ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΘΡ, ἡ δὲ ΛΝ τῇ ΣΘ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΡ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΟΚΠ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΘΡ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΟΚΠ κύκλον. Κύκλου δέ τινος τοῦ ΟΚΠ ἐπὶ τῆς διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Ρ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΡΘ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές· καὶ ἀπείληπται περιφέρεια ἡ ΡΘ ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ σημείου πρὸς τὴν ΟΚΠ προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγυμένης εὐθείας· καί εἰσιν ἴσοι· οἱ κύκλοι, μέγιστοι γάρ εἰσιν· ἡ ἄρα ΘΡ περιφέρεια ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ περιφερείας. Ὁμοίως δὴ δείξωμεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΘΗ ἐλάσσων ἐστὶν, ὁμοίως εἰπόντες. Κύκλου δή τινος τοῦ ΛΗΜ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Σ σημείου τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκε τὸ ΣΘ καὶ τὸ τούτῳ συνεχὲς, καί ἀπείληπται περιφέρεια ἡ ΣΘ ἐλάσσων ἡ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Σ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΗ· καί ἐστιν ἴση ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΘ, ΘΗ ἑκατέρας τῶν ΡΘ, ΘΣ ἐστὶ μείζων. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΟΡΚΠ τῷ ΛΗΜ, ὁ δὲ ΟΡΚΠ συμπίπτει τῇ τῶν ΗΘΚ, ΑΘΡ κύκλων κοινῇ πομῇ ἐντὸς, τοῦτ’ ἔστιν, ὡς κατὰ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας· καὶ ὁ ΛΗΜ ἄρα κύκλος συμπεσεῖται τῇ τῶν ΗΘΚ, ΑΘΡ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Θ σημεῖον. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι μέγιστοι οἱ ΗΘΚ, ΣΘΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΗΘΚ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΚΘ, ΘΗ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Θ σημείου, καὶ διὰ τῶν Η, Κ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα ἐκβέβληται τὰ ΛΗΜ, ΟΚΠ, ὧν τὸ ΛΗΜ συμπίπτει τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῶν ΗΘΚ, ΣΘΡ, ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Θ σημεῖον, μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν τῶν ΚΘ, ΘΗ ἑκατέρας τῶν ΡΘ, ΘΣ ἐστὶ μείζων· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΘ περιφέρεια τῆς ΘΣ περιφερείας. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΡΘ τῇ ΟΝ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΘΣ τῇ ΝΑ· καὶ ἡ ΟΝ a ἄρα περιφέρεια τῆς ΝΑ περιφερείας ἐστὶ μείζων.