ΒΙΒΛΙΟΝ ΤΡΙΤΟΝ., Chapter 7

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τίνος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος, λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο· ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ὦσιν ἐπὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν· ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τῆς ποῤῥώτερον. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΕΖΗ, λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται· ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὰ Ε, Η σημεῖα, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΒΖΓ· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ a κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ, διὰ δὲ τῶν Θ, Κ, Λ σημείων παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΜΘΚ, ΞΚΟ, ΠΛΡ· λέγω δὴ, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ περιφέρεια τῆς ΞΜ περιφερείας. Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Κ σημείου τοῦ ΑΔ κύκλου ἐφαπτόμενος μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΣ, ὥςτε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικύκλιον, ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη a, τῷ ἀπὸ τοῦ Δ ἡμικυκλίῳ, ὡς ἐπὶ τὰ Σ μέρη· καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων, καὶ ἔστω τὸ Υ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Υ, Κ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΥΚΦ. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΥΚΦ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΠΛΡ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΥΚΦ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΠΛΡ κύκλον. Κύκλου δή τινος τοῦ ΠΛΡ ἐπὶ διαμέτρου, τῆς ἀπὸ τοῦ Φ, κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφίσταται τὸ ΦΚΥ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές· καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Κ σημεῖον, καί ἐστιν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια ἡ ΦΚ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Φ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Κ σημείου πρὸς τὴν ΠΛΡ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνυμένης εὐθείας· καί εἰσιν ἴσοι οἱ ΔΚΣ, ΕΛΗ κύκλοι, μέγιστοι γάρ εἰσι, μείζων ἄρα ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ΚΣ περιφερείας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια μείζων ἐστὶ τῆς ΚΨ περιφερείας· καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΚ τῇ ΚΛ, μία ἄρα τῶν ΘΚ, ΚΛ ἑκατέρας τῶν ΨΚ, ΚΣ μείζων ἐστί. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΠΦΣΛΡ κύκλος τῷ ΜΘΝ κύκλῳ, ὁ δὲ ΠΦΣΛΡ κύκλος συμπίπτει τῇ τῶν ΘΚΛ, ΨΚΣ κοινῇ τομῇ ἐντὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, καὶ ὁ ΜΘΝ ἄρα κύκλος συμπεσεῖται τῇ τῶν ΘΚΛ, ΨΚΣ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Κ σημεῖον. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΘΚΛ, ΨΚΣ τέμνουσιν ἀλλήλους κατὰ τὸ Κ σημεῖον, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΘΚΛ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΘΚ, ΚΛ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου, καθ’ ὁ τέμνουσιν ἀλλήλους, καὶ διὰ τῶν Θ, Λ σημείων παράλληλα ἐπίπεδα ἐκβέβληται τὰ ΠΛΡ, ΜΘΝ, ὧν τὸ ΜΘΝ συμπίπτει τῇ τῶν ΘΚΛ, ΨΚΣ κύκλω κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Κ σημεῖον, μία δὲ τῶν ΘΚ, ΚΛ περιφερειῶν μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΣΚ, ΚΨ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΣΚ τῆς ΚΨ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΚ τῇ ΠΞ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΚΨ τῇ ΜΞ· καὶ ἡ ΠΞ ἄρα τῆς ΞΜ b μείζων ἐστίν.