ΒΙΒΛΙΟΝ ΤΡΙΤΟΝ., Chapter 9

Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι μὴ οὖσαι ἑξῆς, ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλου· διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πό. λου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν· ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ποῤῥώτερον. Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο μέγιστοι κύκλοι τεμνέτωσαν οἱ ΔΕΓ, ΒΕ πρὸς ὀρθὰς, ὧ ὁ μὲν ΒΕ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΕΓ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν μὴ οὖσαι ἑξῆς, ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΕ, αἱ ΖΗ, ΘΚ· καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ, Κ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΛ, ΑΗΜ. ΑΘΝ, ΑΚΞ. λέγω. ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας. Ἡ γὰρ ΗΘ ταῖς ΖΗ, ΘΚ ἤτοι σύμμετρός ἐστιν, ἢ οὔ. Ἔστω πρότερον σύμμετρος ἡ ΗΘ ταῖς ΖΗ ΘΚ, καὶ διῃρήσθωσαν αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ εἰς τὰ μέρη κατὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα καὶ διὰ τῶν Ο, Π Σ σημείων και τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΤ, ΠΥ, ΡΦ, ΣΧ. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΟ, ΟΗ, ΗΠ, ΠΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΚ περιφέρειαι ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ΛΤ, ΓΜ, ΜΥ, ΥΦ, ΦΝ, ΝΧ, ΧΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΤ. Επεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΤ τῆς ΝΧ, ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΧΞ. ὅλη ἄρα ἡ ΛΜ ὅλης τῆς ΝΞ μέίζων ἐστί. Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΗΘ ταῖς ΖΗ, ΘΚ σύμμετρος· λέγω, ὅτι ὁμοίως μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας. Εἰ γὰρ μὴ ἔσται μείζων, ἤτοι ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς, ἠ ἴση αὐτῇ. Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατὸν, ἐλάσσων ἡ ΑΜ τῆς ΝΞ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς. Κείσθω τῇ ΑΜ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ διὰ τοῦ Α πόλου καὶ τοῦ Ο μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ· καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ, ΘΠ, ΗΘ εἰλή φθω τις περιφέρεια ἡ ΘΡ, μείζων μὲν οὖσα τῆς ΘΠ, ἐλάσσων δὲ τῆς ΘΚ a, σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ· καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ καὶ διὰ τῶν Σ, Ρ σημείων καὶ διὰ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΣΤ, ΡΥ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΣΗ τῇ ΘΡ, ἡ ΤΜ ἄρα τῆς ΝΟ μείζων ἐστί· τῆς δὲ ΤΜ ἡ ΛΜ μείζων ἐστὶ, πολλῷ ἄρα ἡ ΜΑ τῆς ΝΟ μείζων ἐστὶν· ἀλλὰ καὶ ἴση, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΜ τῆς ΝΞ. Λέγω δὴ, ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ. Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΖΗ, ΘΚ δίχα κατὰ τὰ Ο, Π σημεῖα, καὶ διὰ τῶν Ο, Π σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΡ, ΠΣ. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΟ, ΟΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, αἱ ἄρα ΛΡ, ΡΜ ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΡ μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῇ ΡΜ, ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΘΗ, ΠΚ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, αἱ ΝΣ, ΣΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζους εἰσὶν, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΝΣ· μείζων ἄρα. ἐστὶν ἡ ΝΣ τῆς ΣΞ, ὥστε ἡ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσω ἐστὶν ἢ διπλῆ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ, ὧν ἡ ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ, ἡ δὲ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΝΣ, ἴσων ὑποκειμένων τῶν ΟΗ, ΘΠ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ· ἐδείχθη δὲ, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας.