# De utilitate mathematicae 33

Theon Smyrnaeus, De utilitate mathematicae, Paragraph 33. Ancient Greek.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/greek/theon-smyrnaeus/de-utilitate-mathematicae/33

οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- θεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παῤ ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται· ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈οἱ〉 περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.

---

Theon Smyrnaeus, De utilitate mathematicae, ed. Eduardus Hiller. Text: The Greek Library, from the Perseus Digital Library and other open sources, CC BY-SA 4.0. Changes: apostrophes normalised and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/). Source: https://thegreeklibrary.pages.lisn.upsaclay.fr/works/tlg1724.tlg001.local001/.