# De utilitate mathematicae 67.1

Theon Smyrnaeus, De utilitate mathematicae, Paragraph 67. Ancient Greek.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/greek/theon-smyrnaeus/de-utilitate-mathematicae/67.1

ταυτὶ μὲν περὶ τῆς εὑρέσεως τῶν συμφωνιῶν· ἐπαν- ἐλθωμεν δὲ ἐπὶ τὰ ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου παραδεδομένα. φησὶ γὰρ ὅτι τούτοις τοῖς εἰς τὴν ἀνεύρεσιν τῶν συμ- φωνιῶν ὀργάνοις κατὰ μὲν τοὺς λόγους προπαρασκευα- σθεῖσιν ἡ αἴσθησις ἐπιμαρτυρεῖ, τῇ δὲ αἰσθήσει προσ- ληφθείσῃ ὁ λόγος ἐφαρμόζει. πῶς δὲ καὶ οἱ τὸ λεγό- μενον ἡμιτόνιον περιέχοντες φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἐν λόγῳ τῷ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ, μικρὸν ὕστερον ἔσται φανερόν. δῆλον δὲ ὅτι καὶ αἱ συνθέσεις καὶ αἱ διαιρέσεις τῶν συμφωνιῶν ὁμόλογοι καὶ συνῳδοὶ θεω- ροῦνται ταῖς τῶν κατὰ ταύτας λόγων συνθέσεσί τε καὶ διαιρέσεσιν ἃς πρόσθεν ἐμηνύσαμεν. οἷον ἐπεὶ τὸ διὰ πασῶν ἔκι τε τοῦ δᾶ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων συν- τίθεται καὶ εἰς ταῦτα διαιρεῖται, λόγος δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, τοῦ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, φαίνεται [ὅτι] καὶ ὁ διπλάσιος λόγος συντίθεσθαί τε ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου τε καὶ ἡμιολίου καὶ εἰς τούτους διαιρεῖσθαι· τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ τὰ ηʹ ἐπί- τριτα, τῶν δὲ ηʹ τὰ ιβʹ ἡμιόλια· καὶ γίνεται τὰ ιβʹ τῶν ϛʹ διπλάσια· ϛʹ ηʹ ιβʹ. πάλιν δὲ ὁ τῶν ιβʹ πρὸς τὸν ϛʹ λόγος διπλάσιος διαιρεῖται εἰς τε τὸν ἐπίτριτον λόγον τῶν ιβʹ πρὸς τὰ θʹ καὶ εἰς τὸν ἡμιόλιον τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ, τὸ μὲν γὰρ διὰ πέντε τριῶν τόνων ἐστὶ καὶ ἡμιτονίου, ὁ δὲ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ, φαίνεται καὶ τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου ὑπερέχειν [ἐν] ἐπογδόῳ· ἀπὸ γὰρ ἡμιολίου λόγου οἷον τοῦ τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ ἀφαιρεθέντος τοῦ 〈ἐπιτρίτου〉 λόγου τῶν ηʹ πρὸς τὰ Ϛʹ λείπεται λόγος ἐπόγδοος ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ· καὶ πάλιν τούτῳ τῷ λόγῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου λόγου τοῦ τῶν ιβʹ προς τὰ θʹ συμπληροῦται λόγος ἡμιόλιος τῶν ιβʹ πρὸς τὰ ή. καὶ μὴν ἐπεὶ τὸ μὲν διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ λόγῳ, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τὸ ἐξ ἀμφοῖν ἐν λόγῳ τῶν ηʹ πρὸς τὰ γʹ· τῶν μὲν γὰρ γʹ ἐπίτριτα τὰ δʹ, τούτων δὲ διπλάσια τὰ ή. τὸ δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίονι· ὁ γὰρ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος συντιθέμενοι τοῦτον ποιοῦσιν· ἡμιόλιος μὲν γὰρ ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ, διπλάσιος δὲ ὁ τῶν ιηʹ πρὸς τὰ θʹ· καὶ γίνεται τριπλάσιος ὁ λόγος τῶν ιηʹ πρὸς τὰ ϛ΄. ὁμοίως δὲ τὸ δὶς διὰ πασῶν ἐν λόγῳ τετραπλασίῴ· οὗτος γὰρ σύγκειται ἐκ δύο διπλασίων· τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ διπλάσια τὰ ιβʹ, τούτων δὲ τὰ κδʹ, ταῦτα δὲ [τὰ] τετραπλάσια τῶν Ϛ΄. ἢμᾶλλον, ὡς κατʼ ἀρχὰς ἐδείξαμεν, ἐπισυντεθεὶς ὁ τριπλάσιος ἐπιτρίτῳ ποιεῖ τετραπλάσιον· ἔστι δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος ὁ λόγος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος· ἐξ ἀμφοῖν δὲ τούτοιν τὸ δίς ἐστι διὰ πασῶν· εἰκότως οὖν τοῦτο ἐν λόγῳ φαίνεται τετραπλασίῳ· τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ τριπλάσια τὰ ιηʹ, τούτων δὲ ἐπίτριτα τὰ κδʹ, ἅτινά ἐστι τετρα- πλάσια τῶν ϛ΄. καὶ πάλιν τῶν μὲν Ϛʹ ἐπίτριτα τὰ ή, τούτων δὲ τριπλάσια τὰ κδʹ, ἅ ἐστι τετραπλάσια τῶν Ϛ΄. καὶ τὰ ἐκ τούτωον δὲ συντιθέμενα ἐν τούτοις εὑρε- θήσεται οῖς λόγοις, ἐφʼ ὅσον ἂν προαγάγωμεν τὰ συστήματα.

---

Theon Smyrnaeus, De utilitate mathematicae, ed. Eduardus Hiller. Text: The Greek Library, from the Perseus Digital Library and other open sources, CC BY-SA 4.0. Changes: apostrophes normalised and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/). Source: https://thegreeklibrary.pages.lisn.upsaclay.fr/works/tlg1724.tlg001.local001/.