Latin
Lines 1.1-1.4
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.1-4
Not analysed yet
1.
Quaelibet aequatio algebraica determinata reduci potest ad formam x m +Ax m-1 +Bx m-2 +etc. +M=0 ,ita vt m sit numerus integer positiuus. Si partem primam huius aequationis per X denotamus, aequationique X=0 per plures valores inaequales ipsius x satisfieri supponimus, puta ponendo x=α ,x=β ,x=γ etc. functio X per productum e factoribus x-α ,x-β ,x-γ etc. diuisibilis erit. Vice versa, si productum e pluribus factoribus simplicibus x-α ,x-β ,x-γ etc. functionem X metitur: aequationi X=0 satisfiet, aequando ipsam x cuicunque quantitatum α, β, γ etc. Denique si X producto ex m factoribus talibus simplicibus aequalis est (siue omnes diuersi sint, siue quidam ex ipsis identici): alii factores simplices praeter hos functionem X metiri non poterunt. Quamobrem aequatio m ti gradus plures quam m radices habere nequit; simul vero patet, aequationem m ti gradus pauciores radices habere posse, etsi X in m factores simplices resolubilis sit: si enim inter hos factores aliqui sunt identici, multitudo modorum diuersorum aequationi satisfaciendi necessario minor erit quam m . Attamen concinnitatis caussa geometrae dicere maluerunt, aequationem in hoc quoque casu m radices habere, et tantummodo quasdam ex ipsis aequales inter se euadere: quod vtique sibi permittere potuerunt.
2.
Quae hucusque sunt enarrata, in libris algebraicis sufficienter demonstrantur neque rigorem geometricum vspiam offendunt. Sed nimis praepropere et sine praeuia demonstratione solida adoptauisse videntur analystae theorema cui tota fere doctrina aequationum superstructa est: Quamuis functionem talem vt X semper in m factores simplices resolui posse, siue hoc quod cum illo prorsus conspirat, quamuis aequationem m ti gradus reuera habere m radices. Quum iam in aequationibus secundi gradus saepissime ad tales casus perueniatur, qui theoremati huic repugnant: algebraistae, vt hos illi subiicerent, coacti fuerunt, fingere quantitatem quandam imaginariam cuius quadratum sit -1, et tum agnouerunt, si quantitates formae a+b√ -1 perinde concedantur vt reales, theorema non modo pro aequationibus secundi gradus verum esse, sed etiam pro cubicis et biquadraticis. Hinc vero neutiquam inferre licuit, admissis quantitatibus formae a+b√ -1 cuiuis aequationi quinti superiorisue gradus satisfieri posse, aut vti plerumque exprimitur (quamquam phrasim lubricam minus probarem) radices cuiusuis aequationis ad formam a+b√ -1 reduci posse. Hoc theorema ab eo, quod in titulo huius scripti enunciatum est, nihil differt, si ad rem ipsam spectas, huiusque demonstrationem nouam rigorosam tradere, constituit propositum praesentis dissertationis.