# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.11-14

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.11-1.14. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.11

5.
Prima theorematis demonstratio illustri geometrae d'Alembert debetur, Recherches sur le calcul intégral, Histoire de l'Acad. de Berlin, Année 1746, p. 182. sqq. Eadem extat in Bongainville, Traité du calcul intégral, à Paris 1754. p. 47. sqq. Methodi huius praecipua momenta haec sunt.
Primo ostendit, si functio quaecunque X quantitatis variabilis x fiat =0 aut pro x=0 aut pro x=∞ , atque valorem infinite paruum realem positiuum nancisci possit tribuendo ipsi x valorem realem: hanc functionem etiam valorem infinite paruum realem negatiuum obtinere posse per valorem ipsius x vel realem vel sub forma imaginaria p+q√-1 contentum. Scilicet designante Ω valorem infinite paruum ipsius X , et ω valorem respondentem ipsius x , asserit ω per seriem valde conuergentem aΩ α +bΩ β +cΩ γ etc. exprimi posse, vbi exponentes α, β, γ etc. sint quantitates rationales continuo crescentes, et quae adeo ad minimum in distantia certa ab initio positiuae euadant, terminosque, in quibus adsint, infinite paruos reddant. Iam si inter omnes hos exponentes nullus occurat, qui sit fractio denominatoris paris, omnes terminos seriei reales fieri tum pro positiuo tum pro negatiuo valore ipsius Ω ; si vero quaedam fractiones denominatoris paris inter illos exponentes repariantur, constare, pro valore negatiuo ipsius Ω terminos respondentes in forma p+q√-1 contentos esse. Sed propter infinitam seriei conuergentiam in casu priori sufficere, si terminus primus (i. e. maximus) solus retineatur, in posteriori vltra eum terminum, qui partem imaginariam primus producat, progredi opus non esse.
Per simila ratiocinia ostendi posse, si X valorem realem negatiuum infinite paruum ex valore reali ipsius x assequi possit: functionem illam valorem realem positiuum infinite paruum ex valore reali ipsius x vel ex imaginario sub forma p+q√-1 contento adipisci posse.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.