Latin
Lines 1.15-1.17
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.15-17
Not analysed yet
Hinc secundo concludit, etiam valorem aliquem realem finitum ipsius X dari, in casu priori negatiuum, in posteriori positiuum, qui ex valore imaginario ipsius x sub forma p+q√ -1 contento produci possit.
Hinc sequitur, si X sit talis functio ipsius x ,quae valorem realem V ex valore ipsius x reali v obtineat, atque etiam valorem realem quantitate infinite parua vel maiorem vel minorem ex valore reali ipsius x assequatur, eandem etiam valorem realem quantitate infinite parua atque adeo finite vel minorem vel maiorem quam V (resp.) recipere posse, tribuendo ipsi x valorem sub forma p+q√ -1 contentum. Hoc nullo negotio ex praecc. deriuatur, si pro X substitui concipitur V+Y ,et pro x ,v+y .
Tandem affirmat ill. d'Alembert, si X totum interuallum aliquod inter duos valores reales R, S percurrere posse supponatur (i. e. tum ipsi R ,tum ipsi S ,tum omnibus valoribus realibus intermediis aequalis fieri), tribuendo ipsi x valores semper in forma p+q√ -1 contentos; functionem X quauis quantitate finita reali adhuc augeri vel diminui posse (prout S>R vel S<R ),manente x semper sub forma p+q√ -1 . Si enim quantitas realis U daretur (inter quam et R supponitur S iacere), cui X per talem valorem ipsius x aequalis fieri non posset, necessario valorem maximum ipsius X dari (scilicet quando S>R ; minimum vero, quando S<R ),puta T ,quem ex valore ipsius x ,p+q√ -1 ,consequeretur, ita vt ipsi x nullus valor sub simili forma contentus tribui posset, qui functionem X vel minimo excessu propius versus U promoueret. Iam si in aequatione inter X et x pro x vbique substituatur p+q√ -1 ,atque tum pars realis, tum pars, quae factorem √ -1 implicet, hoc omisso, cifrae aequentur: ex duabus aequationibus hinc prodeuntibus (in quibus p, q et X cum constantibus permixtae occurrent) per eliminationem duas alias elici posse, in quarum altera p, X et constantes reperiantur altera a p libera solas q, X et constantes inuoluat. Quamobrem quum X per valores reales ipsarum p,q omnes valores ab R vsque ad T percurrerit, per praecc. X versus valorem U adhuc propius accedere posse tribuendo ipsius p, q valores tales α+γ√ -1 ,β+δ√ -1 resp. Hinc vero fieri x=α-δ+(γ+β)√ -1 ,i. e. adhuc sub forma p+q√ -1 esse, contra hyp.