# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.18-24

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.18-1.24. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.18

Iam si X functionem talem vt x m +Ax m-1 +Bx m-2 + etc. +M denotare supponitur, nullo negotio perspicitur, ipsi x tales valores reales tribui posse, vt X totum aliquod interuallum inter duos valores reales percurrat. Quare x valorem aliquem sub forma p+q√-1 contentum talem etiam nancisci poterit, vnde X fiat =0 . Q. E. D. *2)
6.
Quae contra demonstrationem d'Alembertianam obiici posse videntur, ad haec fere redeunt.
1. Ill. d'A. nullum dubium mouet de existentia valorum ipsius x quibus valores dati ipsius X respondeant, sed illam supponit, solamque formam istorum valorum inuestigat.
Quamuis vero haec obiecto per se grauissima sit, tamen hic ad solam dictionis formam pertinet, quae facile ita corrigi potest, vt illa penitus destruatur.
2. Assertio, ω per talem seriem qualem ponit semper exprimi posse, certo est falsa, si X etiam funcionem quamlibet transscendentem designare debet (vti d'A. pluribus locis innuit). Hoc e. g. manifestum est, si ponitur X=e 1/x , siue x=1/log X . Attamen si demonstrationem ad eum casum restringimus, vbi X est functio algebraica ipsius x (quod in praesenti negotio sufficit), propositio vtique est vera. — Ceterum d'A. nihil pro confirmatione suppositionis suae attulit; cel. Bougainville supponit X esse functionem algebraicam ipsius x , et ad inuentionem seriei parallelogrammum Newtonianum commendat.
3. Quantitatibus infinite paruis liberius vtitur, quam cum geometrico rigore consistere potest aut saltem nostra aetate (vbi illae merito male audiunt) ab analysta scrupuloso concederetur, neque etiam saltum a valore infinite paruo ipsius Ω ad finitum satis luculenter explicauit. Propositionem suam, Ω etiam valorem aliquem finitum consequi posse, non tam ex possibilitate valoris infinite parui ipsius Ω , concludere videtur quam inde potius, quod denotante Ω quantitatem valde paruam, propter magnam seriei conuergentiam, quo plures termini seriei accipiantur, eo propius ad valorem verum ipsius ω accedatur, aut, quo plurium partium summa pro ω accipiatur, eo exactius aequtioni, quae relationem inter ω et Ω siue x et X exhibeat, satisfactum iri. Praeterea quod tota haec argumentatio nimis vaga videtur, quam vt ulla conclusio rigorosa inde colligi possit: obseruo, vtique dari series, quae quantumuis paruus valor quantitati, secundum cuius potestates progrediuntur, tribuatur, nihilominus semper diuergant, ita vt si modo satis longe continuentur, ad terminos quauis quantitate data maiores peruenire possis. *3) Hoc euenit, quando coëf- ficientes seriei progressionem hypergeometricam constituunt. Quamobrem necessario demonstrari debuisset, talem seriem hypergeometricam in casu praesenti prouenire non posse.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.